Estocástico Integral que es casi seguro de cero a tiempo fijo

Question

Este es un ejercicio de Karatzas y Shreve.

Encontrar un $(Y_s)_{s \in [0,1]}$ progresivamente medibles tales que

1. $ 0 < \int_0^1 Y_s ^2 ds < \infty$ casi seguramente, y

2. $\int _0^1 Y_s dW_s = 0$ casi seguramente

donde $W$ es un Movimiento Browniano.

No tener mucha suerte hasta ahora. Sé $Y$ no puede ser determinista y que la integral no puede ser un verdadero martingala pero eso es todo.

Answer 1

Aquí es una solución de croquis. Haciendo un cambio de hora, es suficiente para encontrar un $X$ donde$\int_0^\infty X_r\,dB_r=0$.s. El movimiento Browniano geométrico $dX = X\,dB$ va a cero, pero el problema es que cuando vamos a escribir como una integral, $X_t=X_0+\int_0^tX_r\,dB_r$, y establecer$X_0=0$, $X_t=0$ todos los $t$. Así, podríamos intentar una modificación de este SDE: \[ dX = \left({\frac1{1+t} + X}\right)\,dB,\quad X_0=0. \] Si $Z=1/(1+t)+X$, entonces debemos tener $\int_0^\infty Z_r\,dB_r=0$.s.

Entonces queremos hacer un cambio de hora: \[ U_t = X_{t/(1-t)} = \int_0^{t/(1-t)} Z_r\,dB_r = \int_0^t V_s\,dM_s, \] donde \[ V_t = Z_{t/(1-t)} = 1 - t + X_{t/(1-t)}, \] y $M_t=B_{t/(1-t)}$. Por último, observamos que podemos escribir \[ M_t = \int_0^t \frac1{1-s}\,dW_s, \] donde $W$ es otro movimiento Browniano. Por lo tanto, si definimos \[ Y_t = \frac1{1-t}V_t = 1 + \frac1{1-t}X_{t/(1-t)}, \] luego tenemos a $U_t=\int_0^t Y_s\,dW_s$, e $U_1=0$.s.

Editar:

No puedo pensar en una fácil prueba de que $X_t\to0$. Para fines de este ejercicio, hay otras distinto de cero integrands satisfacer $\int_0^\infty Z_r\,dB_r=0$.s. Un sencillo, aunque menos interesante ejemplo, es$\int_0^\infty 1_{[0,T]}(r)\,dB_r=0$.s., donde $T=\inf\{t\ge1:B_t=0\}$.

Como para demostrar la $X_t\to0$, la intuición se basa en el hecho de que la solución a $dX = (\varepsilon + X)\,dB$ $X=(X_0+\varepsilon)G-\varepsilon$ donde $G_t = \exp(B_t - t/2)$ es el movimiento Browniano geométrico. En este caso, la solución tiende a $-\varepsilon$. Sin embargo, la solución a $dX = (1/(1+t) + X)\,dB$$X_0=0$, es \[ X_t = G_t - \frac1{1+t} - G_t\int_0^t \frac1{(1+s)^2}G_s\,ds. \] A partir de aquí la prueba sería fácil si el proceso de $H_t=G_t\int_0^t G_s^{-1}\,ds$ fueron seguramente delimitada por encima. Por desgracia, este no parece ser el caso. Escrito $dH=dt+H\,dB$ y hacer un poco de crudo cálculos mentales con Feller la prueba de explosiones, creo que puede ser demostrado que $\liminf H=0$.s. y $\limsup H=\infty$.s. Por lo que parece más delicado de análisis es necesaria para demostrar que el $X_t\to0$ (suponiendo que sea cierto).