Solicitud de recomendaciones de libros de álgebra abstracta

Question

Me he puesto a estudiar matemáticas por mi cuenta. (¿Qué tan inteligente puede ser eso?) Acabo de terminar un curso de análisis real que dedicó mucho tiempo a los espacios métricos y algún tiempo a revisar el cálculo.

Estaba pensando en probar el álgebra abstracta. Agradecería cualquier recomendación de libros.

Gracias de antemano.

Andrew

Answer 1

He pensado en ofrecer mi opinión ahora que tengo algo de experiencia. Estoy utilizando Artin; es excelente. Los principios se presentan con claridad y, lo que me parece más beneficioso, la discusión está diseñada para dar una comprensión intuitiva también. Los conceptos y las pruebas se presentan con claridad para que no tengas que desentrañarlos. Cuando se aprende un nuevo tema, me parece valioso tener una buena comprensión del material y sus ramificaciones. Esto me da una sensación de confianza y satisfacción.

Los problemas se dividen en dos niveles de dificultad. Cada sección (~4 páginas) tiene un pequeño conjunto de problemas que son bastante factibles y mejoran su comprensión. Luego, cada capítulo termina con un conjunto de problemas más desafiantes.

El formato (que personalmente considero muy importante) es de lo más accesible. Las páginas no están abarrotadas. Los puntos clave tienen un espacio adecuado para que puedas absorberlos visualmente. Y los subíndices se ven fácilmente.

Si realmente quieres tener una gran experiencia de aprendizaje, puedes usar Artin junto con un curso paralelo y gratuito de Harvard con Benedict Gross, que incluye excelentes vídeos y notas de clase. ¡Realmente excepcional!

Aquí está el enlace:

http://www.extension.harvard.edu/open-learning-initiative/abstract-algebra

Para concluir, también me gustaría ofrecer mi experiencia personal con Dummit & Foote, que no es tan entrañable. Encontré la verborrea innecesariamente pedante. Los principios clave se encuentran en un gran número de páginas, por lo que no es fácil centrarse en los aspectos más destacados. Aunque tiene ~10^3 páginas, algunos puntos que están elegantemente probados en Artin se quedan en el aire (ni siquiera "se dejan al lector" o problemas de h.w.). El formato es de páginas grandes atiborradas de letra pequeña con ejemplos en letra diminuta. Es cierto que D&F es de carácter enciclopédico, pero aparte de los muebles, era el artículo más pesado que tenía. Puede ser bueno como referencia si ya sabes lo que hay.

$EDIT$ : En algún momento y más adelante, modificaría sustancialmente mis opiniones tanto de "Artin" como de "D & F".

Artin sigue siendo mucho mejor para aprender la teoría de grupos. Pero después, Dummit se hace cargo de la exposición en D & F y la presentación realmente toma vuelo. Por otro lado, Artin ya no proporciona la visión intuitiva ni la presentación tan extensa que ofrece Dummit de forma muy accesible.

Answer 2

Veo que mucha gente ha recomendado el texto de Artin para el autoestudio. Yo usé la segunda edición de este texto para un curso de álgebra que hice en la universidad y definitivamente NO lo recomendaría para el auto estudio. Permítanme explicar por qué:

(1) Los ejercicios al final de cada capítulo no suelen estar relacionados con el material. Son rutinarios o no amplían la comprensión (te animo a que, si es posible, veas lo que quiero decir mirando el capítulo 2 de la 2ª edición sobre los ejercicios sobre el grupo de cocientes).

(2) Si miras el capítulo 10 sobre Representaciones lineales de grupos finitos, Artin presenta una prueba sobre la ortogonalidad de los caracteres que utiliza un lema probado mediante la continuidad que no es del todo riguroso (de hecho he hecho una pregunta en este sitio sobre el lema). Aunque El libro de Serre del mismo nombre que este capítulo es un texto de posgrado, encontré que la prueba allí es mucho más fácil de entender (la prueba allí sobre la ortogonalidad de los caracteres es totalmente rigurosa).

(3) De hecho, mi profesor del curso dijo que en el futuro, si vuelve a utilizar el libro, eliminará la parte de continuidad del capítulo 5. No es riguroso y no te animo a que te aprendas la demostración de cosas como el Teorema de Cayley - Hamilton de la forma en que lo ha hecho Artin (por favor, consulta Álgebra lineal bien hecha de Axler, capítulo 8 para una prueba más rigurosa.

(4) Si quieres aprender Teoría de Anillos, no leas el capítulo 11 del libro de Artin porque te confundirás mucho - en particular las secciones sobre elementos adyacentes a un anillo y anillos producto. Recuerdo claramente haber pasado al menos 2 horas con un ejemplo que dio Artin de un anillo adosado con algún elemento (no recuerdo de memoria cuál era el anillo original, pero recuerdo que era isomorfo a $\mathbb{F}_5$ ). Tuve que usar una combinación del primer isomorfismo y los teoremas de la red para entender lo que decía - no creo que mucha gente en mi clase entendiera también lo que decía.

A menudo tenía que referirme a la obra de Herstein Álgebra abstracta (no Temas de Álgebra ) y de hecho fue lo que más utilicé al final. Permítanme explicar por qué este libro es mucho mejor que el Álgebra de Artin y más útil para el auto estudio.

(1) Herstein da muchos ejemplos - la construcción del grupo cociente es famosa por ser difícil de entender. Herstein explica esta sección maravillosamente. Por si fuera poco, los ejercicios del final son aún mejores, ya que amplían aún más el concepto de anillo cociente. Por ejemplo, Herstein pregunta qué es $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ ¿Isomorfo a? O, para el caso, ¿qué es $\mathbb{R}^2$ modifique todos los puntos de la red que sean isomorfos a? La cuestión es que los ejercicios al final $will$ reforzar su comprensión y mostrar las numerosas conexiones que el grupo de cocientes tiene con otras cosas.

(2) En las secciones sobre la teoría de Sylow, Herstein señala muy claramente la técnica de inducción que utilizará una y otra vez. Me pareció muy alentador y útil que compartiera su experiencia de esta manera. A menudo muchos autores (como Artin) no te dicen las técnicas de la teoría de grupos finitos que son importantes.

¡¡Podría seguir escribiendo, pero espero que todo lo anterior ayude!!

Answer 3

Creo que Un primer curso de álgebra abstracta de Fraleigh es un buen libro de texto para el autoestudio y también hay un manual de soluciones.

Answer 4

Me gustaría que hubieras dado alguna información sobre el libro o libros de análisis real que has leído para darnos una idea del nivel de tu madurez matemática. Pero sin eso, y basándome en la suposición de que te sentías razonablemente cómodo haciendo problemas no rutinarios en tu estudio del análisis real, diría que Fraleigh y Gallian serían buenos lugares para empezar.

Ambos tienen el mismo nivel y cubren temas similares. Fraleigh divide los problemas más difíciles en trozos más pequeños, lo que tal vez sea mejor para el autoaprendizaje, pero según lo que recuerdo de hace mucho tiempo (¡y por lo tanto no muy fiable!), su estilo de escritura es un poco seco. Por otro lado, Gallian introduce la historia y las aplicaciones en la mezcla, lo que lo hace más interesante. Recuerdo que la primera vez que aprendí sobre las características algebraicas de los códigos de barras fue en el libro de Gallian.

Es posible que puedas encontrar copias usadas a buen precio de las penúltimas ediciones de ambos, en cuyo caso te recomendaría que te hicieras con los dos. En mi experiencia, tener más de un libro sobre un tema siempre es útil. A veces una prueba o discusión se hace mucho mejor en uno que en otro.

He visto todos menos el de Artin entre los otros libros que menciona Chandru, pero creo que son más apropiados para un segundo curso que para el primero.

Answer 5

Un gran recurso en línea es un libro de Robert Ash de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign. Una cosa (muy) útil es que tiene soluciones para todos los ejercicios, lo que lo hace estupendo para el autoaprendizaje.