Prueba o contraejemplo: Galois conjugados de $\theta$ mentira en $\mathbb{Z}[\theta]$

Question

Deje $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ (edit: monic) irreducible tal que si $\theta$ es una raíz de $f$ $\mathbb{Q}(\theta)/\mathbb{Q}$ es una extensión de Galois. En otras palabras, todos los Galois conjugados de $\theta$ mentira en $\mathbb{Q}(\theta)$. Es necesariamente el caso de que todos los Galois conjugados de $\theta$ mentira en $\mathbb{Z}[\theta]$?

Desafortunadamente, estos polinomios $f$ son bastante difíciles de encontrar en la naturaleza, por lo 'justo' ejemplos parecen ser escasos. Cuadráticas son tontas, yo he visto un par de artificial cúbicas, pero ninguno de rendimiento de un contraejemplo, cyclotomics son tontas, etc.

Por supuesto, necesitamos un ejemplo para que $\mathbb{Z}[\theta]$ no es el completo anillo de enteros...

...o el resultado puede ser cierto...

No me sorprendería si la prueba/contraejemplo es trivial por el camino...

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El original de la pregunta ha sido respondida por debajo. Aquí hay uno o dos preguntas de seguimiento que todavía estoy muy interesado en:

1. (Sugerido por JyrkiLahtonen): Supongamos que insisten en que $\mathbb{Z}[\theta]$ es máxima entre los subrings de la forma $\mathbb{Z}[a]$ $a$ algebraica entero de $\mathbb{Q}(\theta)$; el resultado puede ser probada, o hay un contraejemplo?
2. ¿Qué podemos decir acerca de los denominadores, que aparecen? No me sorprendería si los únicos números primos que aparecen en los denominadores son aquellos que dividen el conductor de $\mathbb{Z}[\theta]$ (o $\mathbb{Z}[a]$) en el anillo de enteros...

Answer 1

Creo que hay bastante trivial forma de producir cúbicos contraejemplos, a saber, el uso de múltiplos enteros de la no-contraejemplos.

Deje $u=2\cos(2\pi/9)$. Es bien sabido que el polinomio mínimo de a $u$ es$g(x)=x^3-3x-1$, $\sigma(u)=u^2-2=2\cos(4\pi/9)$ es un conjugado (la tercera conjugado es, a continuación, $\sigma^2(u)=2\cos(8\pi/9)=2-u-u^2$ como la suma de los tres conjugados es, obviamente, cero). Por lo tanto, $L=\Bbb{Q}(u)$ es la división de campo de la $g(x)$, y por lo tanto cíclico de Galois de grado tres.

Considerar el número de $\theta=3u$. Sigue inmediatamente que $L=\Bbb{Q}(\theta)$. Uno de sus conjugados es $$\theta':=\sigma(\theta)=3(u^2-2)=3u^2-6=\frac{\theta^2}3-6.$$ Debido a $\theta$ es un entero algebraico su (monic) un mínimo de polinomio $m(x)$ tiene coeficientes enteros. Así que si $p(x)\in\Bbb{Z}[x]$ es cualquier polinomio, entonces $p(x)=q(x)m(x)+r(x)$ para algunos en la mayoría de los cuadrática $r(x)\in\Bbb{Z}[x]$. Así que si $p(\theta)=\theta'$ también $r(\theta)=\theta'$. Esto es imposible, ya que la representación de cualquier elemento de $L$ como un polinomio cuadrático en $\theta$ con coeficientes racionales es único.