¿Por qué la integral de la $\int_0^3 \frac{1}{x^2-6x+5}dx$ no existe?

Question

¿Por qué la integral de la $\int_0^3 \frac{1}{x^2-6x+5}dx$ no existe? $$ I=\frac{1}{2} \lim_{t\to 1^{-}} [\arctan(2-3/2) - \arctan(-3/2)] + \lim_{t\to 1^+}[\arctan(0/2) - \arctan(1-3/2)] $$ Puedo encontrar a $\arctan(0)= \pi/2$

Entonces, ¿por qué la respuesta en mi libro es que no existe?

Answer 1

Tenga en cuenta que $\frac{1}{(x-1)(x-5)}$ no está definido en$x = 1$, por lo que

$$\int_0^3\frac{1}{(x - 1)(x-5)}dx = \lim_{s\to 1^-}\int_0^s\frac{1}{(x-1)(x-5)}dx + \lim_{t\to 1^+}\int_t^3\frac{1}{(x-1)(x-5)}dx.$$

Para evaluar las dos integrales de la derecha, tenemos que encontrar una antiderivada. Hacemos esto mediante la aplicación parcial de la fracción. Al hacerlo obtenemos

$$\frac{1}{(x-1)(x-5)} = \frac{-\frac{1}{4}}{x-1} +\frac{\frac{1}{4}}{x-5}.$$

Por lo tanto, $-\frac{1}{4}\ln|x-1| + \frac{1}{4}\ln|x-5| = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-5}{x-1}\right|$ es una antiderivada de $\frac{1}{(x-1)(x-5)}$. Por lo tanto

$$\int_0^s\frac{1}{(x-1)(x-5)}dx = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{s-5}{s-1}\right| - \frac{1}{4}\ln\left|\frac{0-5}{0-1}\right| = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{s-5}{s-1}\right| -\frac{1}{4}\ln 5.$$

Como $\lim\limits_{s\to 1^-}\frac{1}{4}\ln\left|\frac{s-5}{s-1}\right|$ no existe, $\lim\limits_{s\to 1^-}\int_0^s\frac{1}{(x-1)(x-5)}dx$ no existe, por lo $\int_0^3\frac{1}{(x-1)(x-5)}dx$ no existe.

Answer 2

La integral impropia: $$\int_1^3f(x)dx$$ does not converge. In fact, using Quotient test for it gives us: $$\lim_{x\to 1^+}(x-1)^{\color{red}{1}}f(x)\neq 0$$ y por lo que diverge.

Answer 3

Deje $a,b,\alpha$ ser números reales tales que a $a<b$.

Las integrales de $\displaystyle \int \limits_a^{b^-} \frac{1}{(b-x)^\alpha}\mathrm dx , \int \limits_{a^+}^b \frac{1}{(x-a)^\alpha}\mathrm dx$ converge si, y sólo si, $\alpha <1$.

Sugerencia: $\forall x\in \mathbb R\left((x^2-6x+5)=(x-1)(x-5)\right)$.

Answer 4

Este es un gráfico de la función $y=\frac{1}{x^2-6x+5}$. Qué aspecto integrable en el intervalo de $[0,3]$? (Sugerencia: prestar especial atención al comportamiento de la función en torno a $x=1$.)