Si $f(f(x))=x$ significa eso $f(x)$ es igual a su inversa?

Question

Dada cualquier función real, si $f(f(x))=x$ significa eso $f(x)$ es su propia inversa? Estoy confundido desde $f^{-1}(f(x))=x$ y esto es un hecho, así que podemos asumir que $f(x)$ será igual a $f^{-1}(x)$ por sustitución? Especificar si es posible si es que nunca, a veces o siempre la verdad.

Answer 1

Deje $f:A\rightarrow A$ $f\circ f=1_A$ (La identidad en $A$)

Si $f$ no es surjective, a continuación, $f\circ f$ no es surjective y si $f$ no es inyectiva $f\circ f$ no es inyectiva.

Por lo tanto, si $f\circ f$ es bijective, a continuación, $f$ es bijective. $f$ debe, por tanto, tiene un inverso $f^{-1}$. El uso de este obtenemos lo siguiente:

$f\circ f=1_a\implies f^{-1}\circ f\circ f=f^{-1}\circ 1_A\implies 1_A\circ f=f^{-1}\implies f= f^{-1}$