Multiplicando las series y la composición de Taylor

Question

Tengo dos preguntas:

A. Conozco la serie de Taylor para $ \arctan (x)$ y para $e^x$ . ¿Cómo encuentro la serie para $ \arctan (x) \cdot e^x$ ?

B. Digamos que quiero encontrar la serie para $ \arctan (g(x))$ ¿Simplemente sustituyo $x$ con $g(x)$ ¿O tengo que empezar el proceso de encontrar la serie desde el principio?

¡Gracias!

Answer 1

Puede comprobar alguna teoría sobre dos cuestiones:

A Regla del producto de Cauchy :

Dejemos que $$A = \sum {{a_k}} $$ y $$B = \sum {{b_k}} $$ Entonces $$A \cdot B = C = \sum {{c_k}} $$ donde $${c_k} = \sum\limits_{n = 0}^k {{a_n}{b_{k - n}}} $$

(la última expresión es una convolución discreta)

El teorema es válido para sumas finitas, y para series si una serie converge y la otra converge absolutamente.

B Para el segundo asunto, la composición, debes considerar las propiedades de la serie de Taylor. Dado que existe un amplio abanico de funciones que podemos componer, siempre hay que prestar atención a la continuidad, entre otras cuestiones. Sin embargo, en los casos más sencillos, puedes componer un polinomio de Taylor con otro polinomio, o funciones elementales. Por ejemplo, tienes que

$${e^{\sin x}} = \sum {\frac{{{{\sin }^k}x}}{{k!}}} $$ o

$$\frac{1}{{1 - {{\sin }^2}x}} - 1 = {\tan ^2}x = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{{\sin }^{2k}}x} $$

converge bastante bien para una cantidad baja de términos.

Answer 2

Para el producto: Supongamos que la serie de Taylor para $f(x)$ sobre $x=0$ es $a_0+a_1x+a_2x^2 +a_3x^3+\cdots$ y converge si $|x|<A_f$ . Supongamos también que la serie para $g(x)$ es $b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 +\cdots$ y converge si $|x|<A_g$ . Entonces la serie para $f(x)g(x)$ en principio no es difícil de calcular, y converge al menos cuando $|x|<\min(A_f,A_g)$ .

Sólo hay que hacer lo que es natural, y multiplicar las dos series como si fueran polinomios largos. Explícitamente, la serie de $f(x)g(x)$ es $$c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots, \quad\text{where}\quad c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}.\qquad\qquad(\ast)$$ En algunos casos, podemos encontrar un forma cerrada para el $c_n$ . La serie $\sum c_nx^n$ se llama convolución de las dos series $\sum a_nx^n$ y $\sum b_n x^n$ . La operación de convolución es de gran importancia en muchas áreas de las matemáticas.

A menudo, por motivos de aproximación, sólo queremos encontrar los primeros términos de la expansión de la serie de potencias para $f(x)g(x)$ . Entonces los cálculos son fáciles.

Dijimos que la serie para $f(x)g(x)$ converge al menos cuando $|x|<\min(A_f, A_g)$ . Pero el comportamiento de la convergencia puede ser mucho mejor que eso. Por ejemplo, dejemos que $f(x)=1-x$ y $g(x)=\frac{1}{1-x}$ . La serie para $f(x)$ es simplemente $1-x$ y converge en todas partes. La serie para $g(x)$ sólo converge cuando $|x|<1$ . Pero la serie para $f(x)g(x)$ es simplemente $1$ y converge en todas partes.

Sólo una pequeña modificación de $(\ast)$ es necesario cuando conocemos las expansiones de Taylor de $f(x)$ y $g(x)$ en los poderes de $x-a$ en lugar de las potencias de $x$ : sólo sustituye a $x$ en todas partes por $x-a$ .

Para la composición: De nuevo, hacemos lo que es natural, y simplemente sustituimos. Pues bien, como señala Robert Israel, el proceso no es tan sencillo. La serie para $f(x)$ suele indicarnos el comportamiento de $f(x)$ cuando $x$ está cerca $0$ y puede no ser válida si $x$ está a cierta distancia de $0$ . Así que la sustitución funcionará cuando para $x$ cerca de $0$ , $g(x)$ está cerca $0$ . En términos de la serie de Taylor para $g(x)$ significa que el término constante en la expansión de $g(x)$ debe ser $0$ . Así, $g(x)=\arctan(x)$ generalmente está bien, pero $g(x)=1+x^2$ no lo es. Si intentamos sustituir $1+x^2$ para $u$ en la serie habitual para $\frac{1}{1-u}$ definitivamente no obtendremos la expansión de la serie de potencias para $\frac{-1}{x^2}$ ya que esta función no tiene una expansión en serie de potencias sobre $x=0$ .

Por desgracia, el proceso de sustitución, incluso cuando es válido, puede ser tedioso. Sin embargo, como sólo miramos $g(x)$ cuya serie tiene $0$ término constante, la expansión de $(g(x))^k$ no tiene poderes de $x$ menos de $x^k$ . Así que encontrar los primeros términos de la expansión de la serie de potencias de $f(g(x))$ es bastante fácil.

Hay algunos casos sencillos pero importantes. Por ejemplo, si $f(u)=\frac{1}{1-u}$ entonces la expansión en serie de $f(u)$ es $$1+u+u^2+u^3+\cdots.$$ Queremos la ampliación de la serie para $\frac{1}{1+x^2}$ . Así que nuestra función es $f(g(x))$ , donde $g(x)=-x^2$ . Sólo tienes que sustituir $-x^2$ cada vez que veas $u$ . Obtenemos $$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots.$$ La serie para $\arctan(x)$ suele obtenerse de este modo. Encuentre la serie para $\frac{1}{1+x^2}$ como acabamos de hacer, e integrar término por término.