El álgebra geométrica enfoque de Lorentz grupo de representaciones

Question

Antecedentes:

Deje $\Lambda$ ser la transformación de Lorentz parametrizadas por el asimétrica real de la matriz de $w_{\mu \nu}$. Es decir, que $\Lambda = \exp(\frac{w_{\mu \nu}}{2}J^{\mu \nu})$ donde $(J^{\mu \nu})_{\alpha \beta} = \delta^\mu_\alpha \delta^\nu_\beta\ - \delta^\mu_\beta \delta^\nu_\alpha$. Todos los índices de ejecución de$0$$3$, y estoy usando la métrica de la firma de $+---$.

El espín 1/2 representación del grupo de Lorentz mapas de $\Lambda$ $R[\Lambda]\stackrel{\mathrm{def}}{=}\exp(\frac{w_{\mu \nu}}{2}\gamma^\mu \gamma^\nu)$donde $\{ \gamma^\mu \}_{\mu = 0,1,2,3}$ 4-por-4 matrices complejas satisfacer $\gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2 \eta^{\mu \nu}$.

Pregunta:

Si interpretamos el $\gamma^\mu$ no como matrices, pero como los vectores de la base de la geometría álgebra $Cl(1,3)$, luego tenemos

$R[\Lambda] x^\mu \gamma_\mu R^{-1}[\Lambda] = \Lambda^{\mu}_\nu x^\nu \gamma_\mu$.

¿Por qué es esto cierto? No tengo problemas en hacer el cálculo - estoy en busca de una comprensión más profunda.

Parece una coincidencia total para mí que la representación de la matriz de $R[\Lambda]$ pasa a ser también el rotor para la transformación de Lorentz $\Lambda$. Tal vez esto indica que podemos prescindir de la representación de la matriz de todo, y de alguna manera de formular el equivalente de un spin 1/2 rep. el uso de $Cl(1,3)$ solo?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Answer 1

Creo que el problema aquí es la cola que menea al perro: se ha definido el spin 1/2 representación de una rotación y, a continuación, se encontró que esta es, de hecho, también el rotor que realiza rotaciones en un bilineal de la moda. Creo que es mejor buscar otra forma: se puede construir un rotor de transformación basada en la que pasa a ser una rotación, y luego demostrar que los rotores de la spinors de espín 1/2 que usted sabe acerca de.

Aquí la lógica es: si $n$ es un vector normal a un hyperplane, a continuación, escriba $n = n^\mu \gamma_\mu$ y ver que una reflexión a través de este hyperplane es $\underline N(a) = -nan^{-1}$.

A continuación, se observa que dos de tales reflexiones se realiza una rotación de Lorentz. Por lo tanto, una rotación puede ser escrito $\underline R(a) = mnan^{-1} m^{-1}$ por dos vectores $m,n$.

$mn$ es una de Lorentz spinor. La cantidad de $w_{\mu \nu} \gamma^\mu \gamma^\nu$ a continuación, tiene la orientación de $m \wedge n$ y la magnitud de $\theta/2 = \cos^{-1} (m \cdot n/|m||n|)/2$. El spinor $mn$, entonces tiene un escalar parte $m \cdot n$ y un bivector parte $m \wedge n$.

En este sentido, me thinnk la respuesta a su última pregunta es sí, es posible prescindir de las matrices, ya que casi siempre se limitan a representar algún tipo de objeto. $w_{\mu \nu}$ por ejemplo, es sólo una colección de componentes de base bivectors, describiendo el plano en el que la transformación que se está haciendo. Los componentes de una transformación, como un todo, sólo nos dicen cómo vectores de la base del cambio. Como una cuestión de curso, todas las rotaciones se pueden realizar con los rotores y geométricas de los productos sin la interpretación de cualquiera de los vectores de la base o de otras cantidades, como matrices.