Encontrar todos los valores reales $a$ y $b$ tal que $a+ib=i^{i^{i}}$ ?

Question

Encontrar todos los valores reales $a$ y $b$ tal que $a+ib=i^{i^{i}}$ ?

Mi intento :

utilizando el hecho de que $z^w=e^{w \log z}$ Primero calculo $i^i$ $$i^i=e^{i \log i}= e^{i (\log |i| + i arg (i))}=e^{- \frac{\pi}{2} - 2k \pi} \ \ \ \ k \in \mathbb{Z}$$

Ahora

$$i^{i^{i}} = \left( e^{- \frac{\pi}{2} - 2k \pi} \right)^i = e^{i (\log |e^{- \frac{\pi}{2} - 2k \pi}| + i arg (e^{- \frac{\pi}{2} - 2k \pi}))} = e^{i (\log |e^{- \frac{\pi}{2} - 2k \pi}| + i 2m\pi )} = e^{ (- \frac{\pi}{2} i - 2k \pi i - 2m\pi )} = -i e^{-2m\pi} $$

$m \in \mathbb{Z}$ .

Por lo tanto, $a=0$ y $b=-e^{-2m\pi} $

Porque hemos elevado a $i$ dos veces pensé que podría terminar con dos factores arbitrarios $m$ y $k$ pero uno de ellos tiene que desaparecer. ¿Es correcta mi solución? ¿Podemos tener más de un factor arbitrario en el resultado final?

Gracias.

Answer 1

Su primer paso es bueno, pero $$i^{i^i}=i^{(i^i)}$$ así que el segundo paso debería ser al revés. $$(i^i)^i=i^{i\cdot i}=i^{-1}=-i$$ (Esto es no el resultado final; es sólo un ejemplo del cálculo del valor de la otra forma (errónea) de interpretación).

Answer 2

$i=e^{i\pi/2}$ Así que $\displaystyle i^i=(e^{i\pi/2})^i=e^{-\pi/2}$ y $$i^{i^i}=i^{(i^i)}=(e^{i\pi/2})^{e^{-\pi/2}}=e^{i\left(\frac\pi2 e^{-\pi/2}\right)}=\cos\left(\frac\pi2 e^{-\pi/2}\right)+i\sin\left(\frac\pi2 e^{-\pi/2}\right).$$

Como se ha señalado en los comentarios, probablemente debería hacer explícita una suposición: Estoy utilizando la convención estándar que escribe $\alpha\ne0$ como $|\alpha|e^{i\theta}$ para algunos $\theta\in(-\pi,\pi]$ al evaluar $\alpha^\beta$ . Sin una descripción explícita de lo que se entiende por $\alpha^\beta$ o, si no seguimos la convención, podemos acabar con respuestas diferentes, ya que $i=e^{i5\pi/2}=e^{-3\pi/2}=\dots$ y las diferentes elecciones aquí conducen a diferentes valores de $i^{e^{-\pi/2}}$ .

Veo que la pregunta ha cambiado y ahora pide todos los valores posibles de la expresión: $i=e^{i(4a+1)\pi/2}$ para algún número entero $a$ Así que $i^i$ puede ser cualquier número de la forma $e^{-(4a+1)\pi/2}=e^{(4b-1)\pi/2}$ para algún número entero $b$ . Finalmente, $\displaystyle i^{i^i}$ puede ser cualquier número de la forma $$\cos\left((4c+1)\frac\pi2e^{(4b-1)\pi/2}\right)+i\sin\left((4c+1)\frac\pi2e^{(4b-1)\pi/2}\right)$$ para cualquier número entero $b,c$ .

Answer 3

No creo que ninguna de estas respuestas esté completa. En primer lugar, se entiende universalmente que $i^{i^i}$ significa sólo $i^{(i^i)}$ y nunca $(i^i)^i$ . Así que primero debemos encontrar todos los valores $v$ de $i^i$ , entonces encuentra todos los valores de $i^v$ .

Calculamos $v = i^i = (e^{\pi i/2+2\pi ik})^i = e^{-\pi/2-2\pi k}$ para cada número entero $k$ (hay múltiples valores para esta expresión). Tenga en cuenta que todos estos son números reales.

Para cada uno de ellos, calculamos $i^v = (e^{\pi i/2+2\pi im})^v = (e^{\pi i/2+2\pi im})^{e^{-\pi/2-2\pi k}} = e^{i\cdot\frac{\pi}{2}(4m+1)e^{-\frac{\pi}{2}(4k+1)}}$ para todos los enteros $k$ y $m$ . Se pueden escribir como $\cos \theta_{mk} + i \sin \theta_{mk}$ , donde $\theta_{mk} = \frac{\pi}{2}(4m+1)e^{-\frac{\pi}{2}(4k+1)}$ .

Espero no tener una errata en todo esto. Es una familia de puntos doblemente indexada en el círculo unitario.

Answer 4

$i^{i}=e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}$ es correcto.

Entonces:

$i^{i^{i}}=i^{e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}}=e^{\left(e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}\right)\ln i}=e^{\left(e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}\right)i\left(\frac{1}{2}\pi+m2\pi\right)}$

Esto da como resultado:

$i^{i^{i}}=e^{i\left(\frac{1}{2}\pi+m2\pi\right)\left(e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}\right)}=\cos\left[\left(\frac{1}{2}\pi+m2\pi\right)\left(e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}\right)\right]+i\sin\left[\left(\frac{1}{2}\pi+m2\pi\right)\left(e^{-\frac{1}{2}\pi+k2\pi}\right)\right]$

Aquí $k$ y $m$ son números enteros.

Answer 5

Si $\alpha \not = 0$ entonces defina $\alpha^{\beta} = e^{\beta \log \alpha} $ . Pero para definir $\log \alpha$ hay ambigüedad en la forma de definir un logaritmo. Podemos definir el logaritmo principal mediante $\log \alpha = \log |\alpha| + i\arg \alpha$ donde $\alpha \in (-\pi,\pi]$ . Así, todos los demás logaritmos posibles vienen dados por $\log \alpha = \log |\alpha| + i\arg \alpha + 2\pi i n$ .

Ahora $\log i = \log |i| + i\arg i + 2\pi i n = \pi i + 2\pi i n = \pi i (2n+1)$ . Así, $$ i^i = e^{i\log i} = e^{-\pi(2n+1)} $$ Así, $$i^{i^i} = e^{e^{-\pi(2n+1)}\log i} = e^{e^{-\pi(2n+1)}\pi i (2m+1)} = \cos \left( e^{-\pi(2n+1)}\pi(2m+1)\right) + i \sin\left( e^{-\pi(2n+1)}\pi(2m+1)\right) $$

Mi respuesta difiere de lo que algunos escribieron arriba, soy demasiado perezoso para comprobar los pequeños detalles, sólo para mostrar la idea de una manera de hacer estos problemas.

Nota: No soy partidario de utilizar la regla de multiplicación de exponentes $(a^b)^c = a^{bc}$ que implican números complejos. Porque no es cierto. Por supuesto, aquí estamos considerando todos los exponentes posibles por lo que es seguro usarlo pero en general no es cierto y puede llevar a errores si no se tiene cuidado con ello.