Algunas preguntas acerca de la Clase de Teoría de Campo de un principiante

Question

He iniciado el estudio de Campo de la Clase de Teoría. He realizado cursos en la teoría algebraica de números y álgebra conmutativa. También he hecho un proyecto de lectura en $p$-ádico de los números y de la ramifcation finito de grados de extensiones de $\mathbb{Q}_p$.

Hasta ahora en mi estudio, he sido capaz de completar la prueba del Mundial de Kronecker-Weber Teorema (sin utilizar cualquier local de teoría).

Tengo la siguiente pregunta:

¿Por qué es el Kronecker-Weber Teorema considerado un precursor de la Clase de Teoría del Campo ?

Me miré en el libro de Campo de la Clase de Teoría de Jurgen Neukirch. En el prefacio el autor describe que existe un debate acerca de si utilizar o no Cohomology en el estudio de Campo de la Clase de Teoría.

Tengo las siguientes preguntas:

1. ¿Cómo se cohomology útil en el estudio ?

2. Qué partes de la Clase de Teoría de Campo son accesibles con la ayuda de cohomology ?

3. Hay alguna ventaja de la cohomology enfoque basado ?

Answer 1

Me permite "añadir mi granito de arena" a la detallada respuesta dada por @ Adam Hughes. Él subraya con razón que "si alguna vez quería hacer algo en un completo nivel de investigación, sin duda, usted debe saber lo más que pueda", y entonces usted debe familiarizarse con las dos enfoques principales para CFT (los pongo aparte Neukirch, que me atrevo a decir que no es útil para un principiante):

1) El enfoque a través de ideales, que fue la primera históricamente, comenzando con Kronecker-Weber (1886-87) y culminando con Takagi principales teoremas (1920) en el "K-modulii", "ray campos de la clase", "conductores", la ramificación, la descomposición ... , y Artin la ley de la reciprocidad (1927). En el excelente relato por D. Garbannati, CFT resumen, las Montañas Rocosas J. de Matemáticas. 11, 2 (1981), este período se conoce como "clásico mundial CFT". En este enfoque, local CFT se deriva de global CFT. Para tener una idea de cómo utilizar este clásico de la maquinaria, véase, por ejemplo, G. Gras' libro, CFT:De la teoría a la práctica, Springer (2005)

2) La posterior evolución a través de Chevalley "idèles", que se conoce como "post - guerra mundial CFT" (op. cit.), en el mundial de CFT se deriva de local CFT. No sólo Local CFT es fácil (M. Hazewinkel, Adv. en Matemáticas. 18 (1975)), pero el clásico mundial de CFT presenta "estéticamente desagradable aspectos" (Garbanati, op. cit.), tales como la "definición de modulii" que varían con el finito abelian extensiones de un número determinado campo K y evitar ir sin problemas a infinitas extensiones (como en K-W del teorema).

En realidad, este cambio de perspectiva que va más allá de la mera técnica, ingrains en CFT (como más generalmente en la aritmética) de los llamados "local-global principio", lo que confirma que, a grandes rasgos, que una cierta propiedad (no todos !) más de un campo de número K tiene a nivel mundial fib se mantiene a nivel local en todas sus terminaciones (p-ádico así como de arquímedes). Aquí es donde cohomology entra en juego, porque aparecía como la forma más conveniente para hacer el local-global de la maquinaria de trabajo. Esencialmente, el principal ingrediente activo es el grupo de Brauer de K. Cuando se expresa cohomologically, el local-global principio que se aplica en un cristal de manera clara.

Una última palabra acerca de cohomology, que hoy en día completamente impregna tanto algebraica aritmética y la geometría. Prácticamente, se puede considerar como una mera herramienta, en el mismo nivel como por ejemplo, fórmula de Taylor en el análisis, es decir, una aproximación dispositivo. Taylor expansión permite aproximar el valor de una analítica de la función. El cohomological functor hace lo mismo para un objeto algebraico, por derivar de una corta secuencia exacta de una infinita secuencia exacta de cohomology grupos

Answer 2

A sus preguntas:

• ¿Por qué es el Kronecker-Weber Teorema considerado un precursor de la Clase de Teoría del Campo ?

  Campo de la clase de teoría se refiere con la reciprocidad de las leyes que están íntimamente relacionados con el grupo clase y el grupo de Galois de la máxima, unramified abelian extensión de un campo determinado. Naturalmente, es útil para entender qué abelian extensiones, en general, como, especialmente para $\Bbb Q$, y de Kronecker-Weber constituye una valiosa base para hacerlo, sobre todo porque tenemos algunos de los más importantes teoremas en grupos de Galois de compuestos extensiones de la información dada sobre la base de grupos de Galois. Especialmente desde los subcampos de cyclotomic son tan fáciles de describir con simples sistemas de congruencias, sabiendo que cualquier abelian extensión de $\Bbb Q$ tiene una cierta forma puede reducir su carga de trabajo de manera significativa.

• ¿Cómo se cohomology útil en el estudio ?

  Esto es un poco difícil de cuantificar, ya que "útil" no es muy preciso de la palabra. Baste decir cohomological métodos son poderosas y compactas maneras de expresar lo que iba a ser a veces mucho messier en otro idioma, así como algunos teoremas de la aritmética modular son mucho más fáciles de estado en el lenguaje de la teoría de grupos. Expande la caja de herramientas en un muy fructífero.

• Qué partes de la Clase de Teoría de Campo son accesibles con la ayuda de cohomology ?

  En casi todos, el libro de Artin y Tate se basa en notas de la conferencia ni siquiera incluye los tres primeros capítulos en cohomology y comienza a la derecha con el cohomological enfoque de la teoría.

• Hay alguna ventaja de la cohomology enfoque basado ?

  Sí, o que probablemente no lo uso. Como antes, hay un montón de bien estudiado, clásicos mapas, entre importantes algebraica de los objetos en la teoría de números. Cohomology ayuda a entender los mapas, sus imágenes, kernels, y cómo la interacción con los otros. Ya que los mapas se refieren a cosas como el grupo de clase y grupos de Galois, cohomology es un método natural para analizar en forma sistemática con una gran cantidad de potentes herramientas de teoría y desarrollado para que enfoque.

Finalmente, permítanme responder a una pregunta que no pregunte:

• Debo centrar mi estudio de campo de la clase de teoría en el cohomological enfoque?

  Esa es una pregunta difícil, y debe estar basada en su comodidad con ella. Si alguna vez has querido hacer algo en un completo nivel de investigación, sin duda usted debe saber tanto como usted puede, pero por ejemplo. Lang, la Teoría Algebraica de números trata muy bien las cosas sin mención directa de cohomology, al menos para la teoría básica en un primer libro. Neukirch toma un poco ortodoxo método de grupo de alto nivel de la teoría para desarrollar las cosas, y de Artin-Tate va cohomological. Yo siempre recomiendo empezar donde son sus puntos fuertes y explorar a medida que avanza a encontrar el enfoque que más eficazmente enriquece su comprensión.