Mostrar $\int_Af(x)\,dx=0$ para todo subconjunto medible $A$ de $[0,1]$ .

Question

Dejemos que $f$ sea Lebesgue-integrable en $[0,1]$ . Supongamos que $\int_a^bf(x)\,dx=0$ para todos $0\leq a\leq b\leq 1$ . Mostrar $\int_Af(x)\,dx=0$ para todo subconjunto medible $A$ de $[0,1]$ .

*Deja $A$ sea un subconjunto medible de $[0,1]$ . Entonces $A$ puede escribirse como la unión de disjuntos, ¿contable? intervalos. Como $\int_a^bf(x)\,dx=0$ para todos $0\leq a\leq b\leq 1$ cada integral de $f$ en cada intervalo es $0$ así que $\int_Af(x)\,dx=0$ .

No estoy seguro de haberlo hecho bien...

Answer 1

La medida de Lebesgue es regular, y en particular exteriormente regular. Por lo tanto, existe una secuencia $(O_n)$ de conjuntos abiertos medibles que contienen $A$ tal que $\lambda(A)=\inf \lambda(O_n)$ .

Entonces $\displaystyle \int_A f(x)\, \mathrm{d}x=\int_{O_n} f(x)\, \mathrm{d}x - \int_{O_n - A} f(x)\, \mathrm{d}x$ .

Desde $O_n$ es un conjunto abierto de $\mathbb{R}$ es una unión contable de intervalos abiertos y $\int_{O_n} f(x)\, \mathrm{d}x=0$ . Por convergencia dominada se puede demostrar que $\int_{O_n - A} f(x)\, \mathrm{d}x \to 0$ : utilizar la secuencia de funciones $f1_{O_n-A}$ dominado por $|f|$ .

Answer 2

Se trata de una aplicación estándar de la regla de Dynkin $\pi$ - $\lambda$ Teorema.

Definir $\mathcal{P}=\{(a,b]\mid0\leq a<b\leq1\}\cup\{\emptyset\}$ y $\mathcal{L}=\{A\in\mathcal{B}([0,1])\mid\int_{A}f(x)\,dx=0\}$ . Es rutinario verificar que $\mathcal{P}$ es un $\pi$ -clase y $\mathcal{L}$ es un $\lambda$ -clase. Eso es:

• Para cualquier $A,B\in\mathcal{P}$ tenemos $A\cap\mathcal{B\in\mathcal{P}}$ ,
• $\emptyset\in\mathcal{L}$ ,
• $A^{c}\in\mathcal{L}$ siempre que $A\in\mathcal{L}$ donde el complemento se toma con respecto a $[0,1]$ ,
• $\cup_{i=1}^{\infty}A_{i}\in\mathcal{L}$ siempre que $A_{i}\in\mathcal{L}$ y $A_{1},A_{2}\ldots$ son disjuntos entre sí.

Por la condición dada, tenemos $\mathcal{P}\subseteq\mathcal{L}$ . Por lo tanto, por la regla de Dynkin $\pi$ - $\lambda$ Teorema, tenemos $\sigma(\mathcal{P})\subseteq\mathcal{L}$ . Tenga en cuenta que $\sigma(\mathcal{P})=\mathcal{B}([0,1])$ . Por lo tanto, $\mathcal{L=B}([0,1])$ . Q.E.D.