El proceso de $X$ no está de gauss y sus incrementos no son independientes.
Nota primero que $X$ es un Browniano martingala, por lo tanto, un movimiento Browniano con un cambio de tiempo, por lo tanto, es distribuido como $(\beta_{\langle X\rangle_t})$ donde $\beta$ es un movimiento Browniano independiente de $X$. Por ejemplo, $X_1$ la distribución de los $\beta_{\langle X\rangle_1}=\sqrt{\alpha}\cdot\gamma$ donde $\gamma$ es normal estándar independiente de $(X_t)$$\alpha=\langle X\rangle_1$. Así, $E[X_1]=0$, $E[X_1^2]=E[\alpha]\cdot E[\gamma^2]=E[\alpha]$ y $E[X_1^4]=E[\alpha^2]\cdot E[\gamma^4]=3E[\alpha^2]$.
Desde $E[Z^4]=3E[Z^2]^2$ por cada centrado variable aleatoria normal $Z$, estas observaciones muestran que si $X_1$ es normal, a continuación,$E[\alpha^2]=E[\alpha]^2$, $\alpha$ es casi seguramente constante. Pero $\alpha=\int\limits_0^1B_t^4\,\mathrm dt$, por tanto, esto no es así, y $X_1$ no es normal.
Para el estudio de la independencia de los incrementos de $X$, corregir algunos $s\geqslant0$ y considerar la sigma-álgebras $\mathcal F^X_s=\sigma(X_u;u\leqslant s)$$\mathcal F^B_s=\sigma(B_u;u\leqslant s)$, y el movimiento Browniano $C$ definido por $C_u=B_{s+u}-B_s$ por cada $u\geqslant0$. A continuación, $C$ es independiente de $\mathcal F^B_s$. Además, por cada $t\geqslant0$,
$$
X_{t+s}=X_s+\int_0^t(B_s+C_u)^2\mathrm dC_u=X_s+B_s^2C_t+2B_s\int_0^tC_s\mathrm dC_s+\int_0^tC_s^2\mathrm dC_s.
$$
Reescribir esto como
$$
X_{t+s}-X_s=B_s^2C_t+B_sD_t+G_t,
$$
donde $D_t$ $G_t$ son funcionales de $C$ por lo tanto independiente de $\mathcal F^B_s$. Por lo tanto,
$$
E[(X_{t+s}-X_s)^2\mid\mathcal F^B_s]=B_s^4E[C_t^2]+B_s^2E[D_t^2]+E[G_t^2]+2B_s^3E[C_tD_t]+2B_s^2E[C_tG_t]+2B_sE[D_tG_t].
$$
Uno puede comprobar que $E[C_tD_t]=E[D_tG_t]=0$, $E[C_t^2]=t$, $E[D_t^2]=2t^2$, $E[G_t^2]=t^3$ y $E[C_tG_t]=\frac12t^2$ por lo tanto
$$
E[(X_{t+s}-X_s)^2\mid\mathcal F^B_s]=tB_s^4+3t^2B_s^2+t^3.
$$
Tenga en cuenta que $\mathrm d\langle X\rangle_s=B_s^4\mathrm ds$ y $\langle X\rangle$ $\mathcal F^X$- adaptado por tanto, $B_s^4$ y cada una de las funciones de $B_s^4$, por ejemplo,$B_s^2$, son medibles con respecto a $\mathcal F^X_s$. Este rendimientos
$$
E[(X_{t+s}-X_s)^2\mid\mathcal F^X_s]=tB_s^4+3t^2B_s^2+t^3.
$$
La CARTA no es casi seguramente constante por lo tanto $(X_{t+s}-X_s)^2$ no es independiente de $\mathcal F^X_s$, en particular, los incrementos de $X$ no son independientes.
Edit: Uno puede sentir que el cálculo de la esperanza condicional de $(X_{t+s}-X_s)^2$ arriba es bastante engorroso (es) y tratar de reemplazarlo por el (sin duda más sencillo) cálculo de la esperanza condicional de $X_{t+s}-X_s$. Por desgracia,
$$
E[X_{t+s}-X_s\mid\mathcal F^X_s]=0,
$$
por lo tanto, este cálculo no es suficiente para decidir si la distribución condicional de $X_{t+s}-X_s$ condicionalmente en $\mathcal F^X_s$ es constante o no (que es la reformulación de la independencia de una variable aleatoria y una sigma-álgebra de esta solución se basa en). Otra forma de ver la situación es que, afortunadamente, ya es el segundo condicional momentos no son constantes.
