$S$ ser un subconjunto no vacío de a $\mathbb{R}$ tener supremum y $T=\{x\in\mathbb{R}: x-a \in S\}$, luego $\forall a \in \mathbb{R}$, $\sup T=a+\sup S$.

Question

Deje $S$ ser un subconjunto no vacío de a $\mathbb{R}$ tener supremum y $T=\{x\in\mathbb{R}: x-a \in S\}$, luego $\forall a \in \mathbb{R}$ , $\sup T=a+\sup S$.

Mi prueba:- Vamos a $x\in T$

$\implies x-a≤ \sup S$

$\implies x≤ \sup S+a$

$\because \sup T $ actuar como un mínimo límite superior de $T $

$\therefore \sup T≤a+\sup S$

Cómo probar lo contrario? Por favor me ayude.

Answer 1

Tenemos que si $y \in S$ $(y+a)-a \in S$

Por lo tanto $$(y+a) \in T \Rightarrow y+a=t \in T \Rightarrow y=t-a \leqslant \sup T -a$$

Por lo $\sup S \leqslant \sup T-a \Rightarrow \sup S+a \leqslant \sup T$