Evaluación de $\int x^{26}(x-1)^{17}(5x-3)dx$

Question

Evaluación de $$\int x^{26}(x-1)^{17}(5x-3) \, dx$$

Yo no entendía lo que substution he utilizado por lo que se puede simplificar,

Tengo parece que es un derivado de alguna función.

Me ayude, Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align} \frac{d}{dx}\left[\color{blue}{\frac{1}{9}x^{27}(x-1)^{18}}\right]&=2x^{27}(x-1)^{17}+3x^{26}(x-1)^{18}\\ &=x^{26}(x-1)^{17}(2x+3(x-1))\\ &=x^{26}(x-1)^{17}(5x-3). \end{align} Intuición: dada la forma del integrando, he jugado con $Cx^{27}(x-1)^{18}$ y encontré $C=\frac{1}{9}$ trabajaba.

Answer 2

Tienes este: $$\left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{large exponent} \cdot \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{large exponent} \cdot \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)$$

Tal vez la única manera simple de hacer esto es para recordar lo anterior es lo que usted consigue cuando usted evaluar $$ \frac d {dx } \left( \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{gran exponente} \cdot \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{gran exponente} \right) $$ Por ejemplo, \begin{align} & \frac d {dx} (4x+19)^{42} (2x-27)^{50} \\[10pt] = {} & \underbrace{\overbrace{42(4x+19)^{41}\cdot4\cdot (2x-27)^{50}} {}+{} \overbrace{(4x+19)^{42} 50(2x-27)^{49}\cdot 2}}_\text{product rule} \\[10pt] = {} & \Big( \underbrace{(4x+19)^{41} (2x-27)^{49}}_\text{the common factor} \Big) \cdot \Big( \text{whatever is left (a sum of two terms, admitting simplification)} \Big) \\[10pt] = {} & \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{gran exponente} \cdot \left(\begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} \right)^\text{gran exponente} \cdot \left( \underbrace{ \begin{array}{l} \text{first-degree} \\ \text{polynomial} \end{array} }_\text{Esto es "lo que queda."} \right) \end{align}

Answer 3

Lo siento por el sector informal de la escritura soy de salir corriendo.

Espero que ayude! $$ (x - 1)^{17} = \sum \left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array} \right) x^{17-r}(-1)^r \\ x^{26}(x - 1)^{17} = \sum \left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array} \right) x^{43-r}(-1)^r \\ x^{26}(x - 1)^{17}(5x−3) = 5\sum \left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array} \right) x^{45-r}(-1)^r\espacio - 3\sum\left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array} \right) x^{44-r}(-1)^r \\ =5x^{45} - \left(\sum\left[ 5\left( \begin{array}{c} 17 \\ r+1 \end{array}\right) - 3\left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array}\right) \right]x^{44-r}(-1)^r\right) +3x^{27} \\ \int x^{26}(x - 1)^{17}(5x−3) = 5\int x^{45} - \left(\sum\left[ 5\left( \begin{array}{c} 17 \\ r+1 \end{array}\right) - 3\left( \begin{array}{c} 17 \\ r \end{array}\right) \right]\int x^{44-r}(-1)^r\right) \\+3\int x^{27} + c $$