Demostrando $\frac {2n}{(a+b)^n} \le \frac {1}{a^n} + \frac {1}{b^n}$ $a,b>0, n\in\mathbb{N}$ por inducción

Question

demostrar el uso de la inducción:

$$ \frac {2n}{(a+b)^n} \le \frac {1}{a^n} + \frac {1}{b^n} $$

$$a,b \gt 0 , n \in N$$

mi intento:

1. base $n=1$:

   $$ \frac {2}{(a+b)} \le \frac {1}{a} + \frac {1}{b}$$

$$2ab \le b(a+b) + a(a+b)$$

$$2ab \le ab + b^2 + a^2 + ab$$

$$0 <= a^2 + b^2$$

suma de $2$ no negativos, de hecho.

2. asumir que es el adecuado para $n=k \in N$.......

$$ \frac {2k}{(a+b)^k} \le \frac {1}{a^k} + \frac {1}{b^k}$$

3. para probar $n=k+1$......

$$ \frac {2(k+1)}{(a+b)^{k+1}} \le \frac {1}{a^{k+1}} + \frac {1}{b^{k+1}}$$

he intentado varias cosas... y se quedan cada vez.

este es el intento de imitar lo que el profesor/la enseñanza de la ayuda por lo general con este tipo de problemas (los problemas sin parámetros tho)...

$$ \frac {2(k+1)}{(a+b)^{k+1}} = $$

$$ \frac {1}{(a+b)} \times \left( \frac {2k}{(a+b)^k} + \frac {2}{(a+b)^k} \right) = $$

$$\left(M + \frac {2}{(a+b)^k} \right) \times \frac {1}{(a+b)}$$

volver a la asunción de...

$$M \le \frac {1}{a^k} + \frac {1}{b^k}$$

$$M + \frac {2}{(a+b)^k} \le \frac {1}{a^k} + \frac {1}{b^k} + \frac {2} {(a+b)^k}$$

$$\left( M + \frac {2}{(a+b)^k} \right) \times \frac {1}{a+b} \le \left( \frac {1}{a^k} + \frac {1}{b^k} + \frac {2} {(a+b)^k} \right) \times \frac {1}{a+b}$$

ahora tenemos que demostrar...

$$\left( \frac {1}{a^k} + \frac {1}{b^k} + \frac {2} {(a+b)^k} \right) \times\frac {1}{a+b} \le \frac {1}{a^{k+1}} + \frac {1}{b^{k+1}}$$

no importa cómo lo intente jugar con esta... me llega a un punto muerto.

por favor, ayudar.

Answer 1

Prueba Directa

En primer lugar, me gustaría volver a escribir la desigualdad, de manera que usted desea mostrar a $2n\leq \frac{(a+b)^{n}}{a^n}+\frac{(a+b)^{n}}{b^n}$. A continuación, vamos a utilizar dos hechos que voy a probar antes de terminar.

Hecho 1: Desde $a,b>0$ se sigue que $(a+b)^{n}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^{i}b^{i}\geq \binom{n}{1}ab^{n-1}+\binom{n}{n-1}a^{n-1}b=n(ab^{n-1}+ba^{n-1})$. (Aquí he utilizado el teorema del Binomio y justo a la izquierda de algunos términos positivos, por lo que la suma se hace más pequeño. Yo podría poner desigualdad estricta si me gusta.)

Hecho 2: Desde $a,b>0$ se sigue que $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\geq 2$. Esto puede ser visto de la siguiente manera:

\begin{align*} 0 &\leq (b-a)^{2} = b^2 - 2ab + a^2 \\ \Rightarrow 2ab &\leq a^{2}+b^{2} \\ \Rightarrow 2 &\leq \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \end{align*}

Ahora, poner estos dos hechos a utilizar: \begin{align*} \frac{(a+b)^{n}}{a^{n}} + \frac{(a+b)^{n}}{b^{n}} &\geq \frac{n(ab^{n-1}+ba^{n-1})}{a^{n}} + \frac{n(ab^{n-1}+ba^{n-1})}{b^{n}} \\ &\geq n\left(\frac{ba^{n-1}}{a^{n}}+\frac{ab^{n-1}}{b^{n}}\right) \\ &=n\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right) \\ &\geq 2n. \end{align*}

Inductivo Prueba

Caso Base: (seguro)

El hecho clave que vamos a necesitar es que $(a+b)^{n}\geq a^{n}$$(a+b)^{n}\geq b^{n}$. Esto sólo es cierto cuando se $a,b>0$.

Inductivo Paso: sabemos que $2n\leq (a+b)^{n}\left(\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\right)$ y queremos demostrar que las $2n+2=2(n+1)\leq (a+b)^{n+1}\left(\frac{1}{a^{n+1}}+\frac{1}{b^{n+1}}\right)$.

La primera cosa que (como muy bien hecho) es que necesitamos hacer nuestra hipótesis inductiva útil tirando de algo que se parece a ella.

\begin{align*} (a+b)^{n+1}\left(\frac{1}{a^{n+1}}+\frac{1}{b^{n+1}}\right) &=(a+b)^{n}\left(\frac{a+b}{a^{n+1}}+\frac{a+b}{b^{n+1}}\right) \\ &=(a+b)^{n}\left(\frac{1}{a^{n}}+\frac{1}{b^{n}}\right) + (a+b)^{n}\left(\frac{b}{a^{n+1}}+\frac{a}{b^{n+1}}\right) \\ &\geq 2n + (a^{n}+b^{n})\left(\frac{b}{a^{n+1}}+\frac{a}{b^{n+1}}\right) \\ &\geq 2n + \frac{a^{n}b}{a^{n+1}} + \frac{ab^{n}}{b^{n+1}} \text{ (selective distribution)} \\ &= 2n + \frac{b}{a}+\frac{a}{b} \\ &\geq 2n + 2 \\ &=2(n+1). \end{align*}

Aquí, se utiliza de nuevo el hecho de que $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$ que me hace referencia en la otra solución. Si no estaba claro, la distribución selectiva significa que se me cayó la mitad de los términos de mi "papel de ALUMINIO"ing... es decir, que multiplica sólo los dos primeros términos juntos y los dos últimos términos juntos; el resultado es menor porque se me cayó la mitad de los términos que fueron positivas.