Propiedades de $\det$ $\operatorname{trace}$ $4\times 4$ reales valores de la matriz

Question

Deje $A$, será una verdadera $4 \times 4$ matriz tal que $-1,1,2,-2$ son sus autovalores. Si $B=A^4-5A^2+5I$, a continuación, cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

1. $\det(A+B)=0$
2. $\det (B)=1$
3. $\operatorname{trace}(A-B)=0 $
4. $\operatorname{trace}(A+B)=4$

El uso de Cayley-Hamilton llego $B=I$, y sé que $\operatorname{trace}(A+B)=\operatorname{trace}(A)+\operatorname{trace}(B)$. A partir de estos hechos podemos obtener fácilmente sobre 2,3,4 pero estoy confundido en 1. ¿Cómo puedo comprobar (1)? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

$$A+B=A+I$$

$$\det(A+I)=0 \Leftrightarrow \lambda=-1 \mbox{is an eigenvalue}$$

Answer 2

La ecuación característica de a $A$ está dado por $(t-1)(t+1)(t+2)(t-2)=0 $, lo que implica $t^{4}-5t^{2}+4=0$. Ahora $A$ debe satisfacer su ecuación característica que le da ese $A^{4}-5A^{2}+4I=0$ y así vemos que el $B=A^{4}-5A^{2}+4I+I=0+I=I$. Por lo tanto, los autovalores de a $(A+B)$ está dado por $(-1+1),(1+1),(2+1),(-2+1)$ $0,2,3,-1.$[Sin pérdida de generalidad, se puede aprovechar $A$ a de la diagonal de la matriz que no iba a cambiar de seguimiento o el determinante de la matriz. ]Así que podemos ver que $det(A+B)$ es el producto de sus valores propios, que es $0$. . También vemos que la traza de $(A+B)$ es la suma de sus valores propios, que es $(0+2+3-1)=4.$ También, B, siendo a la matriz identidad, $det(B)=1.$, por Lo que las opciones de $(1),(2) and (4)$ son verdaderas .

Answer 3

Bueno, tal vez podamos pasar a la forma Canónica de Jordan de a $\,A\,$:

$$J_A=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\!\!\!-1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&\!\!\!-2\end{pmatrix}\Longrightarrow B=J_A^4-5J_A^2+5I=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$$

Podemos hacer la anterior ya que el determinante y la traza son invariantes bajo la similitud.

Answer 4

Me acaba de responder a una pregunta acerca de "sin pérdida de generalidad". Este es un buen ejemplo. Desde $A$ es diagonalisable (polinomio característico es$(X+1)(X-1)(X-2)(X+2)$, que se divide sin múltiples raíces), podemos suponer sin pérdida de generalidad que $A$ es diagonal (hacer un cambio de base a una base de vectores propios, que los cambios ni determinantes ni trazas). Usted puede hacer que el caso explícitamente por la computación.

Answer 5

Sólo tener en cuenta los siguientes puntos:

Deje $A_{n\times n}$ ser una matriz con valores propios $\lambda_{1},...,\lambda_{n}$ $f(x)$ un polinomio. Entonces $$\det(f(A))=f(\lambda_{1})...f(\lambda_{n})$$ and $$\text{trace}(f(A))=f(\lambda_{1})+...+f(\lambda_{n})$$