la diferenciabilidad y continuidad

Question

Tengo una pregunta que es bastante "candid" y para los que casi no puedo formalizar correctamente todos los conceptos, pero sin embargo, me preguntaba si había alguna topoligical y/o algebraicas, propiedades de la estructura de espacios (a definir) que hacen que el conjunto de funciones continuas y el conjunto de funciones diferenciables de la misma.

Tal vez esto es simplemente imposible o sólo para los ejemplos triviales.

Saludos

PS : la Motivación es simple curiosidad

Answer 1

Me parece recordar que esto funciona para p-ádico de las funciones con valores de p-ádico variable: son diferenciables si son continuas.

Answer 2

Mentira grupos casi proporcionar otro ejemplo.

Un continuo homomorphism entre Mentira grupos es automáticamente suave. Por supuesto, uno tiene que asumir que es un homomorphism que es muy fuerte condición (por lo tanto, el "casi").

La idea de la prueba es en dos grandes pasos. Primero demuestra que cualquier subgrupo cerrado de una Mentira automáticamente al grupo de lisa (conocido como Cartan del teorema). La idea de esta prueba es que uno puede identificar lo que el espacio de la tangente a la identidad debe ser mediante el grupo exponencial mapa y mostrar este espacio de la tangente en realidad es cerrado bajo la adición utilizando closedness.

El segundo paso es un poco más fácil: dado $f:G\mapsto H$, considerar el mapa de $g:G\mapsto G\times H$$g(x) = (x,f(x))$. El uso de hipótesis en $f$, demuestra que la imagen de $g$ es un subgrupo cerrado, por lo tanto suave en el paso 1. Esto implica que los dos mapas de proyección, cuando se limita a la imagen de $g$, son lisas. Con un poco más de trabajo, una muestra $f$ puede ser escrito como una composición de mapas de proyección y sus inversos, por lo que es suave.