Quería calcular la suma $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k}.$$ Y pensé que sería más fácil hacerlo convirtiéndola en una función, diferenciándola e integrándola a continuación.
Así lo hice: $$f_n(a)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k}a^k$$ $$f_n'(a)=\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}a^{k-1}=\frac{(a+1)^n-1}{a}$$ Y finalmente $$f_n(a)=\int\frac{(a+1)^n-1}{a}\mathrm{d}a+C(n)$$ donde $C(n)$ es una constante desconocida que depende de $n$ .
El primer problema es la integral, por supuesto, así que aquí se detiene.
¿Alguien puede ayudarme a calcular esta integral o hay otra forma de calcular la suma?
EDIT: otro enfoque:
Lo entiendo, usando la identidad de Pascal, $$S(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k}=\frac{1}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}+\frac{1}{k}\binom{n-1}{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\binom{n}{k}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\binom{n-1}{k}$$
Así que tengo la recursividad $S(n)=\frac{2^n-1}{n}+S(n-1)$ con $S(1)=\frac{2^1-1}{1}$ .
Así $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\binom{n}{k}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k-1}{k}$$ si eso puede ayudar.
También, $f_n(a)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{(a+1)^k-1}{k}$ por la misma razón.
