Supongamos $\{x_n\}$ es una secuencia progresión y la subsequence $\{x_{2n}\}$ es convergente. Justificar $\{x_n\}$ es convergente.

Question

Creo que hice este correctamente:

Desde $\{x_{2n}\}$ es convergente es acotada. Desde $\{x_{2n}\}$ es un delimitada larga de $\{x_{n}\}$, $\{x_{n}\}$ es también limitada. Por lo tanto, $\{x_{n}\}$ es monótona y acotada. Por lo tanto, $\{x_{n}\}$ es convergente por la monotonía teorema de convergencia.

No estoy seguro acerca de esta declaración: "Desde $\{x_{2n}\}$ es un delimitada larga de $\{x_{n}\}$, $\{x_{n}\}$ también es limitada."

Answer 1

Su hipótesis puede ser debilitada. En lugar de utilizar $\{x_{2n}\}$, puede utilizar $\{x_{n_i}\}$, donde $(n_i)_{i=1}^{\infty}$ es cualquier estrictamente creciente secuencia de enteros positivos (como $2_i$, $i^2$, o $2^{2^{...^2}}$ con $i$ de los niveles de los exponentes).