Si $f'(x)\cdot x$ va a cero, a continuación, $f(2x)-f(x)$ está acotada.

Question

Deje $g:\mathbb R^m\to\mathbb R^n$ ser definido por $g(x)=f(2x)-f(x)$ donde $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ es una determinada función derivable. El problema es demostrar que si $\lim_{|x|\to\infty} f'(x)\cdot x=0$ $g$ está acotada.

Mi idea es mostrar que $\lim_{|x|\to\infty}|g(x) |=0$. (Si ese límite es válido, entonces existe $K_1>0$ tal que $|x|>K_1\Rightarrow|g(x) |<1$. Además, como $|g|$ es continua y $B[0,K_1]$ es compacto, existe $K_2>0$ tal que $|g(x) |\leq K_2$ todos los $x\in B[0,K_1 ]$. Por eso, $|g(x) |\leq \max\{1,K_2\}$ todos los $x\in\mathbb R^m$).

Para $m=1$, he hecho lo siguiente.

Deje $(x_n )\subset\mathbb R$ ser una secuencia tal que $\lim_{n\to\infty }|x_n |=\infty$. Por el Valor medio Teorema, para cada una de las $n\in\mathbb N$ existe $c_n$ $x_n$ e $2x_n$ tal que

$$0\leq|g(x_n)|=|f(2x_n)-f(x_n)|\leq|f'(c_n)\cdot x_n|=\frac{|x_n|}{|c_n|}|f'(c_n)\cdot c_n|\leq 1\cdot|f'(c_n)\cdot c_n|.\tag{1}$$

Observe que $\lim_{n\to\infty}|c_n |=\infty$. Así que, tomando el límite con $n\to\infty$, obtenemos $$\lim_{n\to\infty}|g(x_n )|=0$$ lo que implica el resultado deseado.

La solución anterior no funciona arbitraria $m$ debido a que, por $m\neq 1$, $x_n$ y $c_n$ no son escalares y por lo tanto la igualdad en $(1)$ no es válido.

Por lo tanto, necesito ayuda para tratar el caso general.

Gracias.

Answer 1

Desde $f'(x)\cdot x\to0$$\lvert x\rvert\to\infty$, a continuación, seleccionando $\lvert x\rvert$ lo suficientemente grande (por ejemplo, para $\lvert x\rvert>R$) podemos garantizar que $\lvert\lvert Df(x)\cdot x\rvert\rvert<1$. Así, por $x$ en esta región tenemos que desde $\mathbb{R}^{m}$ es convexa podemos aplicar el valor de la media y teorema de conseguir:

$$\lvert\vert g(x)\rvert\rvert=\lvert\lvert f(2x)-f(x)\rvert\rvert=\lvert\lvert \int_{0}^{1}(Df((1+t)x)\cdot x)dt\rvert\rvert$$

$$=\lvert\lvert\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t}(Df((1+t)x)((1+t)x))dt\rvert\rvert\le\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t}dt=\ln(2)$$

Por otro lado $g$ es la diferencia de dos funciones diferenciables, por tanto, en el complemento de la anterior región ($\lvert x\rvert\le R$) $g$ es limitada ya que este conjunto es compacto. Una prueba de la versión de la media del teorema del valor que se utiliza puede ser encontrado aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem.

Answer 2

He aquí una sugerencia que es similar en espíritu a su estrategia, pero con el teorema fundamental del cálculo sustitución del valor medio teorema.

Deje $\vec{v}$ ser un vector unitario en $\mathbb{R}^m$, y deje $t>0$ ser un escalar. A continuación, $g(t\vec{v})$ pueden ser calculadas de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo como $$g(t\vec{v}) = f(2t\vec{v}) - f(t\vec{v}) = \int_t^{2t}f'(s\vec{v})\cdot \vec{v}\,\,ds = \int_t^{2t}\frac{1}{s}\,[f'(s\vec{v})\cdot(s\vec{v})]\,\,ds. ¿Qué puedes concluir?