Supongamos que nadie había inventado/descubierto los números reales aún (así, por ejemplo, no cálculo), este restringen el posible teoremas o conocimiento que podría tener sobre los números naturales?
Respuesta
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JoshL
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Ya que estamos hablando acerca de si los números reales son necesarios, sólo tiene sentido hablar de teoremas que no requieren de números reales simplemente el teorema, ya que es un muy sentido trivial de "necesario".
Las propiedades que pueden ser declarado directamente en términos de los números naturales se llama aritmética en la literatura. Estas son las propiedades que se obtienen a partir con multivariable ecuaciones polinómicas sobre los números naturales y el cierre en virtud de las operaciones lógicas y universal y cuantificación existencial sobre los naturales. Aunque puede parecer como si esta es una muy limitada de la colección de propiedades, resulta que después de mucho trivial trabajo que muchas declaraciones pueden ser declarado aritméticamente (por ejemplo, la Hipótesis de Riemann, el último teorema de Fermat, Teorema del Número primo, y la declaración "$\pi$ es irracional" todo puede ser reformulado como aritméticos de las declaraciones).
Luego, es también necesario considerar provability fija formal de las teorías. Después de todo, si tomamos cada cierto aritmética declaración como un axioma, este sistema sería capaz de demostrar cada cierto aritmética declaración (trivialmente) sin el uso de números reales. Pero ese no es el punto, y esto hace que la cuestión no es de interés. Así que tenemos que especificar el conjunto de axiomas que estamos considerando para los números naturales, así que tenemos una colección de propiedades que no demostrable. El más común de sistema de axiomas para el estudio de la aritmética declaraciones es de primer orden de la aritmética de Peano, PA.
Por lo tanto una forma de enunciar la pregunta que es preciso y muy interesante es:
Existen sistemas formales que se extienden PA por lo que nos permite hablar de números reales, y que demuestre cada (aritmética) declaración comprobable de PA, así como otras aritméticos de las declaraciones?
La respuesta es sí. Un ejemplo de un sistema de Zermelo-Frankel la teoría de conjuntos ZF. Este es capaz de probar todos los aritméticos declaración demostrable en PA, así como muchos más.
No es necesario ir todo el camino a la teoría de conjuntos. Por ejemplo, hay un sistema bien conocido en la lógica de la llamada "segunda orden de la aritmética" ($Z_2$) que es un sistema natural para el estudio de sólo los números naturales y los números reales. Este sistema, $Z_2$, es estrictamente entre la aritmética de Peano y de ZF en términos de la aritmética declaraciones es capaz de probar.
P. S. En los términos de las instrucciones que se enumeran más arriba, se sabe que PA demuestra el Teorema de los números Primos y que $\pi$ es irracional. Se sospecha que el Último Teorema de Fermat es demostrable en PA, aunque esto no ha sido demostrado con rigor. Y nadie sabe si la Hipótesis de Riemann es comprobable incluso en ZF.
