Función racional campo de variedades afines de producto

Question

Que $X, Y$ variedades afines, sabemos que cumple con el anillo de coordenadas del producto variedad $X\times Y$ $k[X\times Y]\cong k[X]\otimes_k k[Y]$.

Mi pregunta es ¿es cierto que para el campo de la función racional, también tenemos $k(X\times Y)\cong k(X)\otimes_k k(Y)$? ¿Si no, hay una manera de relacionarse con $k(X\times Y)$ $k(X)$ y $k(Y)$?

Answer 1

Yo pensaba que iba a ampliar Alex respuesta un poco. Primero quiero asegurarme de que estamos suponiendo que el $k = \bar k$. Entonces siempre podemos pensar de $k(X)\otimes_k k(Y)$ como un subconjunto de a $k(X\times Y)$ por el mapa se extiende $\phi\otimes\psi \mapsto \phi\psi$ (véase la nota más abajo), pero se puede ver que de esta manera, $k(X)\otimes_k k(Y)$ sólo contiene funciones racionales $f(\mathbf x, \mathbf y) / g(\mathbf x, \mathbf y) \in k(X\times Y)$ donde $g(\mathbf x, \mathbf y)$ es un producto $g_1(\mathbf x)g_2(\mathbf y)$ de polinomios en sólo $\mathbf x$ $\mathbf y$ por separado, y esto no es todos los posibles funciones racionales -- p. ej. $\frac{1}{xy-1}$ $X=Y=\mathbb{A}^1_k$ . Por supuesto, usted puede escribir $k(X\times Y) \cong \mbox{frac}(k(X)\otimes_k k(Y)) \cong \mbox{frac}(k[X]\otimes_k k[Y])$, o usted puede localizar $k(X)\otimes_k k(Y)$ en el conjunto de polinomios que no son de la forma anterior, pero estos son, probablemente, no es super útil.

Nota. No es trivial que, al $k = \bar k$ $A,B$ $k$- álgebras y también de los dominios, $A\otimes_k B$ es un dominio. Usted puede encontrar una discusión de esto aquí. No siempre es cierto cuando se $k\ne \bar k$.

Answer 2

No es cierto en general que $k(X\times Y)\cong k(X)\otimes_k k(Y)$.

Por ejemplo, que $k=\mathbb{Q}$, $k[X]=k[Y]=\mathbb{Q}(i)$ $k(X)=k(Y) = \mathbb{Q}(i)$, $\mathbb{Q}(i) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(i)$ no es aún un campo.

También no es cierto para el producto de dos líneas afines: $k(x) \otimes_k k(y) \subsetneq k(x,y)$.