Como calcular $p={{{{{{6^6}^6}^6}^6}^6}^6}$ $\mod7$?

Question

He intentado dos enfoques:

Enfoque 1

Ya que $6 \equiv -1 \pmod7$

Entonces,$p=(-1)^t$ y$t$ es par

Por lo tanto, $p=1$.

Enfoque 2

Ya que $6 \equiv -1 \pmod7$

Asi que, $6^6 \equiv 1 \pmod7$.

Por lo tanto, la solución de torres de arriba a abajo:

$p \equiv {{{{{6^6}^6}^6}^6}^1} \pmod7$

$p \equiv {{{6^6}^6}^1} \pmod7$

$p \equiv {6^1} \pmod7$

Por lo tanto, $p=6$.

Ahora, no sé por qué ambos enfoques están dando respuestas diferentes y cuál es correcto.

Answer 1

No puedes reemplazar exponentes así. Es decir,$6^8\not\equiv 6^1$ mod$7$. Puede comprobar fácilmente que$6^8\equiv 1$.

Como dices,$6\equiv -1$, por lo que$-1$ a una potencia par te dará$1$ mod$7$.

Answer 2

El enfoque$1$ es correcto.

No tenemos$$a^b \equiv a^{(b \mod p)} \mod p$ $ en general

Answer 3

Tercer enfoque. $7$ es primo. $gcd (6,7)=1$ so by Fermats Pequeño teorema$6^6\equiv 1 \mod 7$.

Entonces,$6^{6*k}\equiv 1 \mod 7$ (nota de la congruencia de los exponentes NO se conserva en el módulo 7, pero se conservan en el módulo 6.)

Entonces, como${{{6^6}^6}^6} $ es un múltiplo de$6$, tenemos${{{{6^6}^6}^6} ^6}\equiv 1 \mod 7$

Answer 4

Pregunta:$p={{{{{{6^6}^6}^6}^6}^6}^6}$$\mod7$?

• a) Deje$Q = {{{{6^6}^6}^6}^6}$ para que$p = 6^{6^Q}$

• b) Tenga en cuenta que$6\equiv -1 \pmod 7$

Así

• $\qquad \displaystyle p=6^{6^Q} = 6^{2^Q \cdot 3^Q} \equiv \left((-1)^{2^Q}\right)^{3^Q} \equiv 1^{3^Q} \equiv 1 \pmod 7$