$\sqrt[31]{12} +\sqrt[12]{31}$ es irracional

Question

Demuestre que$\sqrt[31]{12} +\sqrt[12]{31}$ es irracional.

Supongo que$\sqrt[31]{12} +\sqrt[12]{31}$ es racional e intenta encontrar una contradicción.

Sin embargo, no sé por dónde empezar. ¿Alguien puede darme un consejo sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Deje que$\mathbb{Q}(\alpha)$ denote el campo más pequeño que contiene$\mathbb{Q}$ y$\alpha$.

La teoría de las extensiones de campo nos dice que$\mathbb{Q}(\sqrt[31]{12})$ tiene el grado$31$ sobre$\mathbb{Q}$,$\mathbb{Q}(\sqrt[12]{31})$ tiene grado$12$ sobre$\mathbb{Q}$ y, porque$(31,12)=1$, tenemos $\mathbb{Q}(\sqrt[31]{12})\cap\mathbb{Q}(\sqrt[12]{31}) = \mathbb{Q}$.

Si$\sqrt[31]{12} +\sqrt[12]{31}$ era un número racional, tendríamos$\sqrt[31]{12} \in \mathbb{Q}(\sqrt[31]{12})\cap\mathbb{Q}(\sqrt[12]{31}) = \mathbb{Q}$. Pero$\sqrt[31]{12}$ no es racional, contradicción.

Answer 2

Aquí hay una variante más simple de la respuesta de Slade:

Si$\sqrt[31]{12} +\sqrt[12]{31}$ era un número racional, tendríamos$\sqrt[31]{12} \in \mathbb{Q}(\sqrt[12]{31})$ y así$\mathbb{Q}(\sqrt[31]{12}) \subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[12]{31})$.

Pero$\mathbb{Q}(\sqrt[31]{12})$ tiene la dimensión$31$ sobre$\mathbb{Q}$ y no puede ser un subespacio de$\mathbb{Q}(\sqrt[12]{31})$, que tiene la dimensión$12$.

Answer 3

Se sabe que algebraicas de los números enteros está cerrado bajo la suma, resta, producto y tomar las raíces.

Desde $12$ $31$ son algebraica de los números enteros, por lo que hace a sus raíces $\sqrt[31]{12}$, $\sqrt[12]{31}$. La suma de estas dos raíces, $\sqrt[31]{12} + \sqrt[12]{31}$ es un entero algebraico.

También se sabe que si una expresión algebraica número entero es un número racional, va a ser un integer ordinario. Aviso $$2 < \sqrt[31]{12} + \sqrt[12]{31} < \sqrt[31]{2^4} + \sqrt[12]{2^5} = 2^{\frac{4}{31}} + 2^{\frac{5}{12}} < 2\sqrt{2} < 3$$ $\sqrt[31]{12} + \sqrt[12]{31}$ no es un número entero y por lo tanto es un número irracional.