¿Son siempre paralelos los vectores posición y velocidad (o velocidad y aceleración)?

Question

Mientras leía el capítulo 1 de un libro de texto de astrodinámica, me encontré con la afirmación

$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{{\dot{v}}}=v{\dot{v}}$$

En otras palabras, el producto punto de la velocidad y la tasa de cambio de tiempo de la velocidad es simplemente igual al producto de las magnitudes de los vectores velocidad y aceleración. Creo que veo cómo funciona esto matemáticamente:

$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left ( \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} \right )=\frac{1}{2}\left [\mathbf{v}\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} +\mathbf{v}\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}\right]=\mathbf{v}\cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{\dot{v}}$$

Además, como un vector es siempre paralelo a sí mismo,

$$\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=vv=v^{2}$$

Así que,

$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left ( \mathbf{v}\cdot \mathbf{v} \right )=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\left (v^{2} \right )=\frac{1}{2}\left (2v \right )\frac{dv}{dt}=v\frac{dv}{dt}=v\dot{v}$$

Mi problema es el siguiente: ¿un vector y la primera derivada temporal de ese mismo vector son siempre paralelos (y en la misma dirección)? Parece que sí, ya que el coseno (no mostrado) del término theta es igual a 1. A mí me parece extraño, porque un objeto puede estar viajando en una determinada dirección mientras experimenta una aceleración en otra dirección, como la trayectoria parabólica de un proyectil cerca de la superficie de la Tierra (ignorando la resistencia). La velocidad será tangente al arco, mientras que la única aceleración es hacia abajo (debido a la gravedad) y nunca realmente paralela a la velocidad, siempre que haya una componente horizontal en la trayectoria. ¿Me estoy perdiendo algo muy obvio aquí? Gracias por su tiempo y consideración.

Cita: Ver página 15 (hoja 30 de 470) sección 1.4.1.2 de este documento .

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Algunas personas muy útiles dejaron grandes respuestas, gracias. La búsqueda en la web también dio como resultado este hilo que proporcionó otra buena respuesta a la pregunta. Parece que esa afirmación es la responsable de una buena parte de la consternación.

Answer 1

Creo que he entendido tu error. Aquí está

$$\left\|\frac{d\bf{v}}{dt} \right\| \ne \frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}\tag{1}$$

De hecho, esto es simplemente decir que

En general, la norma y la diferenciación son no interchangble.

Así que tenemos

$${\bf{v}} \cdot \frac{d\bf{v}}{dt} = \left\|\bf{v}\right\| \left\|\frac{d\bf{v}}{dt}\right\| \cos \theta= \left\|\bf{v}\right\| \frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}\tag{2}$$

y, por lo tanto, se puede cancelar como máximo $\left\|\bf{v}\right\|$ de los dos lados de la igualdad para obtener

$$\left\|\frac{d\bf{v}}{dt}\right\| \cos \theta= \frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}\tag{3}$$

Ahora, según $(1)$ , tú no puede cancelar $\left\|\frac{d\bf{v}}{dt} \right\|$ con $\frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}$ y el $\cos\theta$ no será igual a uno.

Para ser más ilustrativos, sabemos que el vector velocidad puede escribirse como

$${\bf{v}}=\left\|{\bf{v}}\right\| {\bf{t}}\tag{4}$$

Ahora, si tomas la derivada obtendrás

$$\frac{d{\bf{v}}}{dt}=\frac{d\left\|{\bf{v}}\right\|}{dt} {\bf{t}}+\left\|{\bf{v}}\right\| \frac{d{\bf{t}}}{dt}\tag{5}$$

Desde ${\bf{t}}$ es un vector unitario podemos concluir

$${\bf{t}} \cdot {\bf{t}} =1 \qquad \to \qquad {\bf{t}} \cdot \frac{d{\bf{t}}}{dt} =0 \tag{7}$$

y en consecuencia

$$\frac{d{\bf{t}}}{dt} = \left\| \frac{d{\bf{t}}}{dt} \right\| {\bf{n}} = \left\| \frac{d}{dt} \frac{{\bf{v}}}{\left\|{\bf{v}}\right\|} \right\| {\bf{n}} \tag{8}$$

Así que el vector $\frac{d{\bf{v}}}{dt}$ puede escribirse como

$$\boxed{ \dfrac{d{\bf{v}}}{dt}=\frac{d\left\|{\bf{v}}\right\|}{dt} {\bf{t}}+\left\|{\bf{v}}\right\| \left\| \frac{d}{dt} \frac{{\bf{v}}}{\left\|{\bf{v}}\right\|} \right\| {\bf{n}} } \tag{9}$$

Por último, dado que ${\bf{t}} \cdot {\bf{n}}=0$ y ambos son vectores unitarios, podemos calcular $\left\|\frac{d\bf{v}}{dt} \right\|$ como sigue

$${\left\|\frac{d\bf{v}}{dt} \right\|} = \sqrt{\left[\frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}\right]^2 + \left\|{\bf{v}}\right\|^2 \left\| \frac{d}{dt} \frac{{\bf{v}}}{\left\|{\bf{v}}\right\|} \right\|^2} \tag{10}$$

observando la Ec. $(10)$ , se puede ver que por qué $(1)$ es cierto. Existe un caso especial en el que la orientación de un vector no cambia, lo que significa que

$$\mathbf{t}=\frac{{\bf{v}}}{\left\|{\bf{v}}\right\|} = \text{Constant Vector}\tag{11}$$

En ese caso $(10)$ se simplifica a

$$\left\|\frac{d\bf{v}}{dt} \right\| = \left|\frac{d\bf{\left\|v\right\|}}{dt}\right| \tag{12}$$

Answer 2

La velocidad (o cualquier vector) puede cambiar tanto de módulo como de dirección. Tu prueba falla si $\mathbf{v}$ cambia sólo de dirección. En ese caso, la variación temporal de $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}$ desaparece, aunque la variación temporal de $\mathbf{v}$ no lo hace. Un ejemplo es el movimiento circular con velocidad constante, en el que la velocidad y la aceleración son perpendiculares.

EDIT: para aclarar lo que no expresé muy bien arriba: la prueba de \begin{equation}d/dt (\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})=2 \dot{\mathbf{v}} \cdot\mathbf{v}\end{equation} es correcto. Sin embargo, si v es constante \begin{equation} d/dt \ v^2 =0, \end{equation} que sigue siendo igual a $2 \dot{\mathbf{v}} \cdot\mathbf{v} $ como $\mathbf{v}$ , $\dot{\mathbf{v}}$ son perpendiculares.

Puedes pensarlo así: \begin{equation} d/dt \ \mathbf{v}= d/dt \ (v \hat {\mathbf{v}})=\dot v\ \mathbf{v} +v \ d/dt\ \hat{\mathbf{v}} \end{equation} con $\hat{\mathbf{v}}$ de norma unitaria. La derivada temporal de $\hat{\mathbf{v}}$ es perpendicular a $\hat{\mathbf{v}}$ de la siguiente manera, diferenciando $\hat{\mathbf{v}}\cdot\hat{\mathbf{v}} = 1$ .

Answer 3

Como contraejemplo fácil a la afirmación de que $\vec v\|\dot{\vec v}$ Considera que $$\vec v = \begin{pmatrix} v_0\cos \omega t\\v_0\sin\omega t\\0\end{pmatrix}$$ Podemos comprobar que $$\vec v\cdot \dot{\vec v} = \begin{pmatrix} v_0\cos \omega t\\v_0\sin\omega t\\0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -v_0\omega\sin \omega t\\v_0\omega\cos\omega t\\0\end{pmatrix} = 0$$ Además $$v = v_0 = const. \implies \dot v = 0 \implies v\dot v=0$$ Sin embargo, $\vec v$ y $\dot{\vec v}$ no son claramente paralelas; de hecho, el hecho de que su producto escalar desaparezca demuestra que son ortogonales.