Yo estaba tratando de pensar en otra manera de mostrar que hay un número infinito de números primos. Me encontré con el siguiente argumento, pero no estoy seguro de si es válido. No sé cómo hacer que sea más formal (yo no soy un matemático). El enfoque básico lo que estoy tratando es de suponer que hay un número finito de números primos, y a continuación, mostrar que un conjunto finito de números primos no pueden ser combinadas para producir cada número natural en arbitraria en el conjunto de los números naturales. Por lo tanto, algunos de los números naturales sería ni el primer ni composite, pero ya que cada número natural es, de hecho o primos o compuestos, esto crea una contradicción y, por lo tanto hay infinitos números primos.
Deje $P$ ser el conjunto de todos los números primos $\{2,3,5,...p_m\}$ y deje $S$ ser el conjunto de todos los números naturales entre el $1$ $p_m^n$ ( $\{1,2,3,...,p_m^n\}$ ), donde $n$ es un número natural. Tenga en cuenta que $P$ es un subconjunto de a $S$. Cada elemento de a $S$ o primos, o se puede escribir como un producto de números primos. Podemos pensar en cada número en $S$ como producto de todos los primos en $P$, cada una elevada a un exponente de $\ge0$. Por ejemplo, $10=2^1*3^0*5^1*7^0*11^0*...p_m^0$.
Deje $a$ ser un número entero tal que $2^a < p_m^n$$2^{a+1}>p_m^n$. En otras palabras, $a$ es el mayor poder de $2$ que es menor que $p_m^n$. Desde que exceden el poder de $a$ de los primos más pequeños sería mayor que $p_m^n$, se deduce que cualquier otro primer número elevado a una potencia $>a$ también superaría $p_m^n$. Esto establece el límite superior para los exponentes en la factorización prima de cualquier elemento de $S$, por lo tanto la factorización prima de cualquier elemento de $S$ contendrá sólo las potencias de los números primos $\le a$.
Cada elemento de a $S$ por lo tanto puede ser escrito como $2^{q_1}*3^{q_2}*5^{q_3}*...*p_m^{q_m}$ donde $0\le q \le a$. Deje $C$ ser el conjunto de todas las combinaciones posibles de los de arriba. Desde allí se $m$ de los números primos, y cada uno de los prime puede tener un exponente de$0$$a$, hay por lo tanto, $(a+1)^m$ números que se pueden generar de esta manera (estos números incluyen los compuestos y los números primos, ya que los números primos se forman cuando una sola prime tiene un poder de $1$ y todos los demás prime tiene un poder de $0$). Nota, $S$ deben ser un subconjunto de a $C$ ya que cada elemento de a $S$ puede ser representada de esta forma, sino $C$ contiene elementos que son claramente de $> p_m^n$, por lo que estos elementos no están en $S$, es decir, $p_m^a$ donde $a$ es claramente mayor que $n$. Desde $S$ es un subconjunto de a$C$, $S$ debe tener menos elementos de los que $C$:
1) $|S| < |C|$
desde $|S| = p_m^n$ $|C| = (a+1)^m$
2) $p_m^n < (a+1)^m$
Si la declaración es verdadera, entonces la sustitución de $a+1$ con un valor mayor que $a+1$ también debe ser true. Desde $2^a<p_m^n$, por definición, multiplicando ambos lados por 2, se obtiene:
$2^{a+1}<2p_m^n$
Tomando el $log_2$ de ambos lados:
$a+1<log_2(2p_m^n)$
$a+1<log_2(2) + nlog_2(p_m)$
$a+1<1+nlog_2(p_m)$
Ahora reemplazando $a+1$ en la ecuación 2) con $1+n*log_2(p_m)$:
$p_m^n < [1+n*log_2(p_m)]^m$
Claramente si esta desigualdad se cumple para cualquier valor de $n$, no lo hace para todos los valores de $n$. El lado izquierdo crece exponencialmente $n$ aumenta. El lado derecho es un polinomio de la forma $(1+bn)^m$ donde $b$ $m$ son constantes. Por lo tanto para suficientemente grande $n$, la desigualdad se produce un error. Dado que la desigualdad es falsa para al menos algunos de los valores de $n$, $|S|$ debe ser a veces mayor que $|C|$, lo que significa que no debe existir elementos de $S$ que no están contenidas dentro de $C$. Estos elementos sería ni el primer, ni compuesto. Sin embargo, todos los números naturales deben ser primos o compuestos, por lo tanto existe una contradicción y la proposición de que hay un número finito de números primos debe ser falsa.
Me hice el desafío de construir una prueba de que hay infinitos números primos, antes de examinar cualquiera de las soluciones existentes. Desde entonces he mirado, y si bien esto no es muy elegante, me pregunto si es realmente válido. Agradecería cualquier comentario.
