Demuestra$n=m$ si$(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1}) = (q^m-1)(q^m-q)\cdots (q^m-q^{m-1})$.

Question

Dejar $m, n, q \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$. Si$(q^n-1)(q^n-q)\cdots (q^n-q^{n-1}) = (q^m-1)(q^m-q)\cdots (q^m-q^{m-1})$, cómo demostrar$n=m$?

Answer 1

Deje que$A_n$ sea su primera expresión. Entonces nosotros tenemos $A_n=A_m$. Tenga en cuenta que debemos suponer que$q\geq 2$, de lo contrario, el resultado no es verdadero. Es fácil mostrar que$A_n=q^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n(q^k-1)$. Ahora deje$p$ un dividendo primo$q$, y para$x\in \mathbb{Z}$ no$0$,$v_p(x)=a$ el entero$\geq 0$ tal que$p^a$ divide $x$ y$p^{a+1}$ no divide$x$. Muestra esa $v_p(A_n)=\frac{n(n-1)}{2}v_p(q)$. Es fácil de terminar.

Answer 2

Si$q$ es una potencia principal, entonces tenemos $$ | GL (n, \ mathbb {F} _q) | = (q ^ n-1) (q ^ nq) \ cdots (q ^ nq ^ {n -1}) = (q ^ m-1) (q ^ mq) \ cdots (q ^ mq ^ {m-1}) = | GL (m, \ mathbb {F} _q) | $$ La cadena de subgrupos$GL(1,q)\subset GL(2,q)\subset \cdots$ está aumentando estrictamente, por lo que el mapa$n\mapsto A_n$ es inyectivo. Aquí$A_n$ es el orden de$GL(n,q)$. Por lo tanto$A_n=A_m$ implica que$n=m$.

Answer 3

Sugerencia: Si$q$ es una variable, entonces tome la mayor potencia de$q$ en ambos lados. Luego equiparar esos poderes.