Error en el método RK clásico. El resultado fue infinito.

Question

He utilizado clásica ($4^\text{th}$ orden) método de Runge-Kutta para resolver el ODE $$y'=5e^{5t}(y-t)^2+1,0\leq t\leq 1, \ y(0)=-1.$$

$h$ es el tamaño del paso.

Al $h=0.2$, tengo una buena aproximación de la solución. Sin embargo, cuando se $h=0.25$, el resultado fue a infinito. ¿Cuál es la razón para esto? Lo de la restricción del tamaño de paso y convergente condición para el clásico método RK?

Answer 1

Set$u(t)=\frac1{y(t)-t}$$u'(t)=-5e^{5t}$, de modo que $$ u(t)-u(0)=1-e^{5} $$ Como también se $u(0)=1$, el denominador $u(t)=2-e^{5t}$ en la solución $$ y(t)=t+\frac1{2-e^{5}} $$ tiene una raíz en $t=\frac15\ln(2)<1$, por lo que el $y$ tiene un polo en el interior del intervalo de integración. La posición numérica para el polo es$0.13862943611198905$, de modo que no hay ningún problema en la solución numérica de volar. La única influencia de la naturaleza explícita de que el problema es que el polo se llega bastante tarde, mover a la posición correcta con el más fino tamaños de paso.

En total, el código es, con alta probabilidad correcta, el comportamiento observado es debido a la singularidad de la solución exacta.

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Si usted utiliza, como se indica en el primer gráfico, $y(0)=0$ también $u(0)=0$ y la solución exacta es, de hecho, la singularidad libre $$y(t)=t-e^{-5t}$$. Sin embargo, los errores numéricos mover la iteración puntos para las soluciones exactas de ligeramente diferentes puntos iniciales, que tienen las soluciones $$ y(t)=t+\frac1{1+y(0)-e^{5}} $$ que tienen singularidades en $t=\frac15\ln(1+y(0))$. La retroactividad de los errores de stepsize $h$ a los puntos iniciales se da en primer orden $y(0)=-1+C\,h$. Suponiendo que la constante es positiva, una singularidad se produce en algún lugar en$t=\frac15(\ln(C)-\ln(1/h))$, de modo que sólo los más grandes tamaños de paso llevar a los polos positivo veces, sin polos tan largo como el retroactivo $y(0)$ es negativo. En una trama que se demuestra de la siguiente manera:

Esto también muestra una marcada diferencia en la solución de a $h=0.2$en que también explota. La solución para $h=0.1$ se queda delimitada.

Answer 2

La ecuación es inicialmente escrito de una forma un tanto engañosa de la moda. Usted realmente debe buscar en $z(t)=y(t)-t$ y aviso

$$\frac{dz}{dt}=5e^{5t}z^2,z(0)=-1.$$

La verdadera solución a este problema se va a tratar de hacer su camino hasta cero y luego estabilizar allí. De hecho, en realidad se puede calcular que el$z(t)=-e^{-5t}$, lo que muestra que.

Pero una solución numérica, especialmente con un método explícito, se tienden a dispararse $z=0$. A continuación, el $z^2$ plazo desencadena tiempo finito explosión, al igual que en la solución exacta a $z'=5e^{5t}z^2,z(0)=z_0>0$. Este sobregiro problema es el mismo que el problema que ocurre en $y'=\lambda y$ donde el equilibrio $y=0$ solución es superado por métodos explícitos con demasiado grande de tamaños de paso.

Para decirlo de otra manera, lo que estamos viendo es la dramática diferencia en el comportamiento entre las $y'=y^2,y(0)=-1$ $y'=y^2+\varepsilon,y(0)=-1$ que se produce por $\varepsilon>0$. Esta es una característica intrínseca de la inestabilidad en la ecuación que crea dificultades en la solución numérica.