¿Hay alguna razón profunda que 23456789 es primo?

Question

Hace poco estuve de codificación de una factorización en primos de la función y quería probar que podía factor de gran número razonablemente bien. Arbitrariamente, me deslicé mi dedo por el teclado numérico, y consiguió 23456789 como una entrada de prueba. Sorprendentemente, fue el primer!

Se trata simplemente de una extraña coincidencia, o hay alguna más profunda número teórico de la estructura que conduce a este resultado.

La investigación anterior: todo lo que he sido capaz de hacer es confirmar que 23456789 es de hecho el primer y el más grande en prime con los dígitos en orden ascendente. https://primes.utm.edu/curios/page.php/23456789.html

Answer 1

Esto no es una respuesta, pero en base $n$ ese numero es $$ a_n=\frac{2n^{n-1}-n^{n-2}-n^2+n-1}{(n-1)^2}$ $, que es primo $n=3,4,6,10,16,18,36$ y ninguna otra $n\leq 500$. $\sum_{n=3}^\infty \frac 1{\ln(a_n)}$ converge, por lo que por un heurístico siguiente del teorema primero del número esta secuencia probablemente tiene solamente finito muchos primos.

Answer 2

Comentario.-aquí algo me gusta y y tal vez relacionados con el problema propuesto (tenga en cuenta que con esta definición el coeficiente $a$ puede ampliarse para ser no dígito).

Definir

$$P_n(x)=\sum_{2\le a\le n} ax^{n-a}$$

El % de polinomios $P_n(x)$tiene grado $n-2$ y puede ser definido por la repetición a través de
$$P_{n+1}(x)=xP_n(x)+(n+1);\space P_2(x)=2$ $ De esta manera uno tiene

$$P_9(10)=\color{red}{23456789}\\P_9(4)=50969,\text{ prime }\\P_9(2)=757,\text{ prime}$$ Besides with exception of $ P_6 $ for which $ P_6 (n) $ is composite for $1\le n\le 10$ uno tiene los siguientes números primos para $1\le n\le 10$ % $ $$\begin{cases}P_8(5)=43943\\P_8(3)=2729\\P_7(3)=907\\P_5(2)=41\\P_5(6)=569\\P_4(3)=31\\P_4(9)=193\\P_3(1)=5\\P_3(2)=7\\P_3(4)=11\\P_3(5)=13\\P_3(7)=17\\P_3(8)=19\\P_3(10)=23\\P_2(n)=2\text{ for all } n\end{cases}$

Answer 3

Tal como se plantea, yo diría que la respuesta a su pregunta es no.

Decir que somos un único entero positivo $n$, en su pregunta,$n = 23456789$. En este caso no hay "razón profunda" de $n$ a ser el primer. Cualquiera de las $n$ es primo o no, es lo que es.

Por otro lado, supongamos que tenemos un entero aleatorio $1 \leq n \leq N$. Luego se sigue de PNT que la probabilidad de que $n$ es primo es de aproximadamente $1 / \log N$. En otras palabras, es muy probable que $n$ no es primo.

Parece que su pregunta está motivada por el patrón en la base de $10$ expansión de $n$, con el aumento de los dígitos en base $10$. Podría hacer preguntas sobre el conjunto de los números enteros (qué tan probable es que para ser el primer, hay una infinidad de números primos de esta forma, etc.). Pero para un determinado número entero no hay realmente nada que decir.