Lógica de la implicación en $ε$$δ$pruebas

Question

Estoy confundida por por qué las pruebas de delta epsilon lógicamente trabajan.

Un ejemplo es

Prueba: Da $ε>0$, elija $δ = {ε\over3}$. Para todos los $x$, si $0<|x−2|<δ$ y $|(3x−1)−5| < ε$.

Que última parte si $0<|x−2|<δ$ y $|(3x−1)−5| < ε$ mucho como $P\to Q$ debido al "Si entonces" pero sin embargo la prueba en el libro como resuelve como si su $Q\to P$?:

$$\begin{align}|(3x−1)−5| &= |3x−6|\\ &= |3(x−2)|\\ &= 3|x−2|\\ &<3δ\\ &= 3\left({ε\over3}\right) \\ &= ε\end{align}$$

Así que mi pregunta es ¿cómo es que se ve como una prueba de $P\to Q$ pero sin embargo comenzamos con $Q$ $P$ de mostrar?

Answer 1

Usted escribió: $$ | (3x−1) −5 | = | 3x−6 | = | 3(x−2) | = 3 | x−2 | < 3δ < 3(ε/3) = ε. $$ en primer lugar, esto debería decir $$ | (3x−1) −5 | = | 3x−6 | = | 3(x−2) | = 3 | x−2 | < 3δ = 3(ε/3) = ε. $$

Cuando se escribe $$ A = B = C = D < E = F = G $$ entonces usted está demostrando que si todo lo anterior "equivale a" signos y el signo "menos-que-o-igual a" es verdadero, entonces el $A < G$ es cierto.

Answer 2

La forma más básica para demostrar que un enunciado de la forma "Si $P$ $Q$" es asumir $P$ y demostrar $Q$.

En este caso,$P$"$0<|x-2|<\delta$",$Q$$|(3x-1)-5|<\epsilon$. Anteriormente en la prueba que hemos definido $\delta = \epsilon/3$.

Así que supongamos $P$: Suponga que la declaración de $0<|x-2|<\delta$ es cierto, y para demostrar que $Q$ mantiene. Logramos esto mediante la cadena de desigualdades

$$|(3x−1)−5| = |3x−6| = |3(x−2)| = 3|x−2|<3δ,$$

a continuación, utilizamos $\delta = \epsilon/3$ continuar

$$3\delta = 3(\epsilon/3) = \epsilon.$$

Por lo tanto, el primer término es menor que el último, que es, precisamente,$Q$.

Answer 3

¡Simplemente ejecute a través de la prueba.

Queremos probar que, para cualquier $\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tales que para todos los $x$, $0 < |x-2| < \delta \implies |(3x-1)-5|<\epsilon$ %.

Por lo tanto, tomamos un % arbitrario $\epsilon > 0$. Ahora queremos demostrar la existencia de una $\delta > 0$ tal que la declaración de "para todos los $x$ (...)" tiene.

Tenga en cuenta que $|(3x−1)−5| = |3x−6| = |3(x−2)| = 3|x−2|$. Ahora queremos construir un $\delta > 0$ tal que IF $|x-2| < \delta$, entonces el $3|x-2| < \epsilon$. Por lo tanto, si tomamos $\delta = \frac{\epsilon}{3}$, hemos llegado a nuestra meta: $|x-2| < \delta = \frac{\epsilon}{3}$, por lo tanto, $3|x-2| < \epsilon$.

Answer 4

En la prueba que no empezamos con $Q$, es decir, no asumas que $|(3x−1)−5| < \varepsilon$. Si usted lee cuidadosamente la cadena de manipulaciones, ver ese $$ | (3x−1) −5 | = | 3x−6 | = | 3(x−2) | = \color{blue}{3|x−2| < 3\delta = 3(\varepsilon/3)} = \varepsilon. $$ Utilizamos el supuesto de que $0<|x-2|<\delta=\varepsilon/3$ en el azul de pasos de color para mostrar que $|(3x−1)−5|<\varepsilon$.

Answer 5

Que es una MUY legítima la pregunta.

Considere la posibilidad de $P:=$ "$x$ está muy cerca de a $2$" y $Q:=$ "$f(x)$ es verly cerca de $5$"

Queremos demostrar a $P \to Q$.

El ingenuo (pero mal) manera de hacer esto es decir. Notas de roble. $x$ muy cerca de $2$$|x-2| < .1$$-.1 < x-2 < .1$$-.3< f(x)-5 < .3$$|f(x) -5|<.3$.

Es $.3$ "muy de cerca" o no? Y ¿cómo podemos generalizar esto?

Así que la próxima cosa razonable sería:

Si $|x-2|< \delta$ que puede ser tan pequeño como nos gusta demostrar que $|f(x)-5|<\epsilon$ y demostrar que podemos hacer $\epsilon$ tan pequeño como nos gusta.

Y podemos demostrar que podemos tener si $|x-2| < \delta$ $|f(x) -5| < 3\epsilon$ (era simple en este caso). Pero nosotros no podemos hacer $*\epsilon*$ tan pequeño como queramos! Si tomamos $\epsilon$ menor que $3\delta$, la declaración no sería cierto. El tamaño de $\epsilon$ tiene límites determinados por el tamaño de $\delta$.

Ahora, uno podría argumentar: Pero podemos hacer $*\delta*$ más pequeños que a un menor $\epsilon$. Y había de ser la correcta. Pero ahora estamos tratando de encontrar una $\delta$ para que coincida con nuestra $\epsilon$; no la otra manera alrededor.

Lo cual tiene sentido. De curso podemos conseguir $x$ cerca de $2$ como nos gusta y podemos seleccionar $\delta$ a ser cualquier cosa. El truco está mostrando el si queremos conseguir $f(x)$ cerca (dentro de un epsilon de) $5$, entonces hay algo de $\delta$ que nos dejen probar.

Así que queremos demostrar: "Nos puede llegar a $|f(x) - 5|< .000000001$. Pregunta. ¿Cómo hacemos eso? Respuesta: Mediante la adopción de $|x - 2|< .0000000003333333333......$".

O: "Nos puede llegar a $|f(x)-5|< \epsilon$. Pero, ¿cómo? Lo $\delta$ necesitamos?"

... o para decirlo de otra manera....

Vamos $C(variable, constant, \gamma) = \{|variable - constant| < \gamma \}=$ "$variable$ es $\gamma$ cerca de $constant$".

Sabemos que para cualquier $c$ $\delta$ siempre podemos encontrar un intervalo donde el $C(x, c, \delta)$ es cierto. Sólo tomamos $x \in (c-\delta, c+\delta)$. Softonic no sé que $C(f(x), k, \epsilon)$ es necesariamente cierto.

Lo que queremos demostrar es que siempre se puede encontrar $\delta$s y $\epsilon$s donde: $C(x,c,\delta)$ $C(f(x),k, \epsilon)$ son ambas verdaderas. Y además, podemos encontrar estos $\epsilon$s y $\delta$s de modo que ellos son tan pequeños como queramos.

Bien, sabemos $C(x,c,\delta)$ puede siempre ser hecha realidad. Así que tenemos que demostrar que el $C(x,k,\epsilon)$ puede ser hecho realidad para cualquier $\epsilon$ y que, al hacerlo, habrá un $\delta$ donde $C(x,c,\delta)$ se convierte en verdad.

Así que lo que queremos demostrar: $\forall \epsilon > 0| \exists \delta >0: C(x, c, \delta) \to C(f(x), k, \epsilon)$.

O $\forall \epsilon > 0|\exist \delta > 0: P=C(x,c,\delta) \to Q= C(f(x), k , \epsilon)$.

La cosa es darse cuenta de que $\epsilon, \delta$ son cuantificadores, no declaraciones.

Digamos que queremos "hacer" $\epsilon \to \delta$ es no diciendo que queremos hacer,$Q\to P$. Es decir que queremos hacer, $\epsilon \to \delta$ a fin de obtener los valores que va a permitir a nosotros para demostrar $P\to Q$.