Valor de $(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)(\delta^2+1)$ si $z^4-2z^3+z^2+z-7=0$ $z=\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$

Question

¿Que $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ ser la raíz de $$z^4-2z^3+z^2+z-7=0$$ then find value of $% fórmulas de $(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)(\delta^2+1)$$ son Vieta apropiados?

Answer 1

No hay necesidad de utilizar fórmulas de Vieta. Que $$f(z)=z^4-2z^3+z^2+z-7=(z-\alpha)(z-\beta)(z-\gamma)(z-\delta).$ $ entonces, desde $(i-a)(-i-a)=-i^2+a^2=1+a^2$, sigue que $$(\alpha^2+1)(\beta ^2+1)(\gamma^2+1)(\delta^2+1)=f(i)f(-i)=|f(i)|^2=|-7+3i|^2=49+9=58.$ $

Answer 2

Reorganizar la ecuación $z(2z^2-1)=z^4+z^2-7$ cuadrados esto y sustituye $y=z^2+1$\begin{eqnarray*} (y-1)(2y-3)^2=((y-1)^2+(y-1)-7)^2 \\ y^4+\cdots +58 =0. \end{eqnarray *} nota que las raíces de este polinomio será $\alpha^2+1,\beta^2+1,\gamma^2+1,\delta^2+1$ y no calculamos todos los términos explícitamente (sólo los necesarios para obtener el producto de estas raíces.) Así $(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)(\delta^2+1)=\color{blue}{58}$.

Answer 3

Lo puedes hacer por el teorema de Vieta.

Obtenemos: $$\sum_{cyc}\alpha=2;$ $ $$\frac{1}{4}\sum_{sym}\alpha\beta=1;$$ $$\sum_{cyc}\alpha\beta\gamma=-1$ $ y #% $ de %#%, $$\alpha\beta\gamma\delta=-7.$ $ $$\prod_{cyc}(1+\alpha^2)=1+\alpha^2\beta^2\gamma^2\delta^2+\sum_{cyc}\alpha^2\beta^2\gamma^2+\frac{1}{4}\sum_{sym}\alpha^2\beta^2+\sum_{cyc}\alpha^2=$ $ $$=1+49+\left(\sum_{cyc}\alpha\beta\gamma\right)^2-2\alpha\beta\gamma\delta\cdot\frac{1}{4}\sum_{sym}\alpha\beta+\left(\frac{1}{4}\sum_{sym}\alpha\beta\right)^2-2\sum_{cyc}\alpha\sum_{cyc}\alpha\beta\gamma+2\alpha\beta\gamma\delta+$ $ $$+\left(\sum_{cyc}\alpha\right)^2-2\cdot\frac{1}{4}\sum_{sym}\alpha\beta=$ $ también podemos utilizar la siguiente. $$=50+1-2\cdot(-7)\cdot1+1^2-2\cdot2\cdot(-1)+2\cdot(-7)+2^2-2=58.$ $ De hecho, $$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2=(ax-by)^2+(ay+bx)^2.$ $ $$\prod_{cyc}(\alpha^2+1^2)=((\alpha+\beta)^2+(\alpha\beta-1)^2)((\gamma+\delta)^2+(\gamma\delta-1)^2)=$ $ $$=((\alpha+\beta)(\gamma+\delta)-(\alpha\beta-1)(\gamma\delta-1))^2+((\alpha+\beta)(\gamma\delta-1)+(\alpha\beta-1)(\delta+\gamma))^2=$ $ hecho!

Answer 4

transformar la ecuación para que usted obtenga las raíces deseadas.

por lo que la ecuación dada tiene refugios $\alpha, \ \beta,\ \gamma, \ \delta $primera transformación $x \to \sqrt{x}$ para que la nueva ecuación ha $\alpha^2, \ \beta^2,\ \gamma^2, \ \delta^2 $ raíces entonces transformar $x \to x-1$ para obtener la ecuación cuyas raíces son $\alpha^2+1, \ \beta^2+1,\ \gamma^2+1, \ \delta^2+1 $

ahora la respuesta es producto de las raíces de la ecuación de nuevo.