¿Cómo simplificar una expresión con cuarto y trigonométricas funciones de orden superior?

Question

El problema es el siguiente:

Que el valor de $K$ tiene que ser en el orden en que $R$ se vuelve independiente de $\alpha$?.

$$R=\sin^6\alpha +\cos^6\alpha +K(\sin^4\alpha +\cos^4\alpha )$$

Hasta ahora sólo he venido para arriba con la idea de que la solución puede implicar $R=0$, por lo tanto

$$\sin^6\alpha +\cos^6\alpha +K(\sin^4\alpha +\cos^4\alpha)=0$$

como resultado de la expresión se convierte en $0$ por lo tanto independiente de $\alpha$, sin embargo el resultado es como este

$$-K=\frac{\sin^6\alpha +\cos^6\alpha}{\sin^4\alpha +\cos^4\alpha}$$

No estoy seguro de si este es el camino correcto.

Por otra parte, ¿cómo puedo simplificar esta expresión, como lo ha pedido cuatro y seis?

Answer 1

Recordar % $ $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

y expresar todo en términos de $\cos^2\alpha$: $$\begin{align} R &= \left(\;\sin^2\alpha\;\right)^3 + \left(\;\cos^2\alpha\;\right)^3+K\left(\;\left(\;\sin^2\alpha\;\right)^2+\left(\;\cos^2\alpha\;\right)^2\;\right) \\ &= \left(\;1-\cos^2\alpha\;\right)^3 + \left(\;\cos^2\alpha\;\right)^3+K\left(\;\left(\;1-\cos^2\alpha\;\right)^2+\left(\;\cos^2\alpha\;\right)^2\;\right) \\ &= \left(\;1-x\;\right)^3 + \left(\;x\;\right)^3+K\left(\;\left(\;1-x\;\right)^2+\left(\;x\;\right)^2\;\right) \qquad\text{(writing %#%#% for %#%#%)}\\ &= 1 - 3 x + 3 x^2 + K \left(\; 1 - 2 x + 2 x^2 \;\right) \\ &= 1 +K -(3+2K) x + (3+2K) x^2 \end {Alinee el} $$

Independencia de $x$ se traduce en independencia de $\cos^2\alpha$. Necesitamos un valor de $\alpha$ que hace que los términos no constante del polinomio a desaparecer. Claramente, $x$. $K$

Answer 2

$\alpha = 0$ Tenemos $\sin(\alpha)=0 $ y $\cos(\alpha) = 1$, por lo tanto $R = 1+ K$ y $\alpha = \dfrac{\pi}{4}$ tenemos $\cos(\alpha) = \sin(\alpha) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$, que $R = \dfrac{1}{4} + \dfrac{K}{2}$, por lo tanto si existe un valor de $K$ para que la expresión es independiente del $\alpha$, entonces debemos tener: $$1+ K = \frac{1}{4} + \frac{K}{2}$ $

por lo tanto $K$ debe ser $-\dfrac{3}{2}$.

Answer 3

Utilización de $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1$\begin{eqnarray*} \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha =(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 -2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \\ \sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha =(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha -\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha+ \cos^4 \alpha) = 1-3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha. \\ \end{eqnarray *} por lo que la ecuación puede ser simplificada\begin{eqnarray*} R=\sin^6\alpha +\cos^6\alpha +K(\sin^4\alpha +\cos^4\alpha ) \\ =1-3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha +K(1-2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) \\ =1+K-(2K+3)\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \\ \end{eqnarray *} por lo que es independiente del $\alpha$ cuando $\color{blue}{2K+3=0}$. (Dando el valor $K=\color{red}{-\frac{3}{2}}$)

Answer 4

Que $x = \sin^2 \alpha,y = \cos^2 \alpha$. Tenga en cuenta que $x+y = 1$ % que $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2+y^2-xy) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = 1-3xy$también $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = 1-2xy$

$R = (1-3xy) + K(1-2xy) = 1+K - (3+2K)xy$. Así que si $K = -3/2$ y $R$ será independiente del $\alpha$. Si $K \neq -3/2$ entonces dependerá de $xy$ que entonces depende de $\alpha$.

Generalmente cuando usted ve una expresión en forma de $\sin^{2n}x + \cos^{2n}x$ ayuda a factor $\sin^2 + \cos^2$ como lo hice anteriormente

Answer 5

Otra forma posible es comenzar con $$R=\sin ^6(a)+\cos ^6(a)+K \left(\sin ^4(a)+\cos ^4(a)\right)$$ Using multiple angles formalae, this rewrite as $$R=\sin ^6(a)+\cos ^6(a)+\frac{1}{4} K (\cos (4 a)+3) $$ and say that the derivative of $R $ with respect to $ a $ is equal to $0$. $$\frac{dR}{da}=6 \sin ^5(a) \cos (a)-6 \sin (a) \cos ^5(a)-K \sin (4 a)=-\frac{3}{2} \sin (4 a)-K \sin (4 a)$$ $$\frac{dR}{da}=-\frac{1}{2} (2 K+3) \sin (4 a)=0$$ Then $K=-\frac{3}{2} $.