Demostrar que todo número entero positivo divide a un número como $70, 700, 7770, 77000$ .

Question

Demostrar que todo número entero positivo divide a un número como $70, 700, 7770, 77000$ cuya representación decimal está formada por uno o varios $7$ seguido de uno o más $0$ 's.
Una pista: $7$ ; $77$ ; $777$ ; $7777$

Sé que debo utilizar el principio de encasillamiento, pero no consigo averiguar cómo. Sé que probablemente se reduce a demostrar que todos los números Impares dividen algún número de la forma $7, 77, 777$ etc.

Answer 1

Considere el conjunto de números $7 \times \sum_{i=0}^{M} 10^i$ para $M=0, \cdots N$ (Es decir, el conjunto de números, de longitud $1$ a $N+1$ Todos los dígitos son $7$ ). Hay $N+1$ elementos. Ahora considerémoslos módulo $N$ . Por el principio de la colombofilia, debe haber dos que sean congruentes, réstalos y serán divisibles por $N$ .

Editar: Deja $a_{M} = 7 \times \sum_{i=0}^{M} 10^i$ (El $M+1$ número de dígitos compuesto únicamente por $7$ ) y $a_{M} \equiv b_{M} \pmod {N}$ . Sólo hay $N$ valores posibles para el $b$ por lo que por el PHP existen dos $M$ valores que son iguales, digamos $p$ y $q$ (con $p>q$ ). Tenemos $ a_{p} \equiv a_q \pmod {N}$ . "Resta estos" y tenemos
\begin {eqnarray*} a_{p} - a_q = \underbrace {7 \cdots 7 }_{p-q \text { 7's}} \underbrace {0 \cdots 0 }_{q+1 \text { 0's}} \equiv 0 \pmod {N}. \end {eqnarray*}

Answer 2

Toma algún número entero $n$ . Considere los números $$x_i= \underbrace{77...77}_i \text{ mod } n\qquad\text{for $ i \in\Bbb N $}$$

El principio del agujero de pato te dice que hay $x_i=x_j$ con $i> j$ . Entonces tenemos $(x_i-x_j)\equiv 0 \pmod n$ (es decir $n$ divide $x_i-x_j$ ), así como

$$x_i-x_j = \underbrace{77...77}_{i-j}\overbrace{00...00}^{j}.$$