¿Por qué obtengo un punto de silla de montar y no un máximo?

Question

Tenemos la función $f(x,y)=36xy$ y queremos maximizar sujeto a $3x+6y=m$. Utilizando el método de Lagrange he encontrado que un punto crítico es $\left (\frac{m}{6}, \frac{m}{12}\right )$.

El uso de la condición de segundo orden y la matriz Hessiana me encontré con que ese punto es un punto de silla.

Por ejemplo, la matriz Hessiana es: \begin{equation*}H_F\left (\frac{m}{6}, \frac{m}{12}\right )=\begin{pmatrix}0 & 36 \\ 36 & 0\end{pmatrix}\end{ecuación*}

A continuación, los valores propios son $\pm 36$.

Ya hemos positivos y negativos autovalores, la matriz es de carácter indefinido, y esto significa que el punto es un punto de silla.

A la derecha?

Pero según Wolfram es un punto máximo. (por ejemplo, para m=40 ).

Así que, ¿por qué obtengo un punto de silla?

Answer 1

Abordar la intuición primera

Aquí está una parcela de su función, $f(x, y) = 36 * xy$. Tenga en cuenta que sólo hay un punto crítico, y es un punto de silla.

La función

Sin embargo, su restringir su dominio a una línea: $3x + 6y = m$, o: $y = \frac{1}{6} (m - 3x))$.

Esto hace que su función $f(x, y) = 6 * (mx - 3x^2))$. Una función cuadrática! Tenga en cuenta que varían $m$ es sólo deslizar la restricción a lo largo de la línea normal.

Vamos parcela $f(x, y)$ sujeto a la restricción de algunos elegido de forma arbitraria m.

Proyectado en la restricción

Por jove, una ecuación cuadrática!

Ambas funciones se trazan

Para $m=0$ el punto de silla se ha convertido en el máximo. Para $m\ne0$, nos acaba de obtener una línea paralela, lo que indica un paralelo cuadrática.

Abordar la Cuestión

Desea calcular

$\max_{x, y} 36 xy$

$s.t. A * \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} = m$

para $A = \begin{bmatrix}3 \\ 6\end{bmatrix}$

La hessiana de la función es la matriz que se suministra. La "reducción de hesse" es el de la arpillera de la misma amado función a lo largo de los grados de libertad permitidos por las restricciones.

Podemos calcular una "reducción de hesse" en una de dos maneras. La primera es la matriz de la aritmética enfoque, la proyección sobre el subespacio donde la restricción es satisfecho. Esto es equivalente a la proyección de la original de hesse en el nullspace de la función de limitación.

Una base para la nullspace de Un es trivial en 2D:

$Null(A) = Z = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$

Y, a continuación,$R = Z^T \begin{bmatrix} 0 & 36 \\ 36 & 0\end{bmatrix} Z = -36$.

$R$ se llama la reducción de hesse, y en nuestro caso es un escalar.

Otro enfoque para la construcción de la misma de hess es el proyecto de la función en la restricción, y calcular el estado de hesse de ese chico.

$f(x, y) = 6 * (mx - 3x^2))$

$\dfrac{df}{dx} f(x, y) = 6mx - 36x$ $\dfrac{df^2}{dx^2} f(x, y) = -36$

Lo cual es consistente con nuestra expectativa.

Este hess es negativo definitiva, lo que indica un máximo en el punto crítico.