Representaciones irreductibles de un producto semidirecto

Question

Tengo dos grupos finitos. Las representaciones irreducibles de su producto están dadas por productos tensoriales de los irreducibles de las representaciones de los grupos.

¿Existe una forma de construir las representaciones irreducibles de un producto semidirecto a partir de las representaciones irreducibles de los grupos?

Cualquier referencia será bienvenida. No pude encontrar esto en Serre, así que supongo que no es sencillo como el caso del producto. Por lo tanto, cualquier consejo también sería genial.

Por si acaso es completamente conocido y está disponible en la literatura, me interesa $SL_2(\mathbb{F_q})\rtimes H$ , donde $H$ es el grupo de Heisenberg.

Answer 1

No conozco un procedimiento general que funcione para cualquier producto semidirecto. Serre trata los productos semidirectos por grupos abelianos en la parte II, sección 8.2. Véase también mi respuesta a otra pregunta . En su caso particular, además de levantar las representaciones de $H$ del cociente, también trataría de inducir las representaciones irreducibles de $SL_2(\mathbb{F}_q)$ a $G$ y ver cuáles siguen siendo irreducibles o dónde se pueden separar los sumandos que ya se conocen. El criterio de irreducibilidad de Mackey (véase, por ejemplo, Serre, Parte II, sección 7.4) debería ser bastante útil para esto. En general, tomar productos internos de dos caracteres inducidos de este tipo es fácil utilizando la reciprocidad de Frobenius y la fórmula de Mackey.

Answer 2

Sí, hay una teoría general, incluso para las extensiones de grupos localmente compactos por Mackey, pero es más sutil que lo que quieres. http://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02392428#page-1

La teoría de Clifford también es muy útil aquí: Mira, por ejemplo, el Teorema 1 de http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/00927870902829049 .