Encuentra todos los números enteros positivos $n$ de tal manera que para todos los números enteros de impar $a$ si $a^2 < n$ entonces $a | n $ ?

Question

Encuentra todos los números enteros positivos $n$ de tal manera que para todos los números enteros de impar $a$ si $a^2 < n$ entonces $a | n $ ? (Ref. Titu Andreescu, Teoría de los números, página. 5-6).

ESBOZO DE LA SOLUCIÓN DEL AUTOR:
Considere un entero positivo fijo $n$ . Deje que $a$ ser el mayor entero impar de tal manera que $a^2 < n$ y por lo tanto $n \leq (a+2)^2 $ . Si $a \geq 7$ entonces $a-4, a-2 $ y $a$ son enteros Impares que dividen $n$ . Cualquiera de estos dos números son relativamente primos, así que $(a-4)(a-2)a | n$ . De ello se deduce que $ (a-4)(a-2)a \leq (a+2)^2 $ . Luego $a^2 (a-7) + 4(a-1) \leq 0$ que es falso. Por lo tanto $a$ es $1,3$ o $5$ . Si $a=1$ entonces $1^2 \leq n \leq 3^2 $ por lo tanto $n =\{1,2...,8\} $ . De manera similar para $a=3$ y $a=5$ . Así $n = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,12,15,18,21,24,30,45\}$ .

TENGO LAS SIGUIENTES PREGUNTAS EN RELACIÓN CON LA SOLUCIÓN DADA POR EL AUTOR

1. ¿Por qué el autor elige $a$ como el mayor entero de impar?
2. ¿Por qué el autor utiliza $ \geq $ en la relación $a \geq 7$ y no otras desigualdades como $<$ etc. ?
3. ¿Cómo llegó el autor al número $7$ en la relación $a \geq 7$ ?
4. ¿Cómo pudo el autor elegir $a-4, a-2$ y $a$ como los divisores impar de $n$ porque si $a > 7$ entonces no son los únicos divisores impar de $n$ ?

Answer 1

1. ¿Por qué el autor elige $a$ como el mayor entero de impar?

Porque el problema dice "para todos los enteros Impares $a$ si $a^2 \lt n$ ". Desde $a^2$ está delimitada arriba por $n$ Entonces $a$ debe estar delimitado arriba por $ \sqrt n$ . Así que debe haber un mayor número entero de impar $a$ .

2. ¿Por qué el autor utiliza $ \geq $ en la relación $a \geq 7$ y no otras desigualdades como $<$ etc. ?

3. ¿Cómo llegó el autor al número $7$ en la relación $a \geq 7$ ?

Probablemente, después de elaborar algunas respuestas, con un ordenador o a mano, formuló la hipótesis de que $a$ debe ser inferior a 7. Así que se dispuso a demostrar que $a \ge 7$ no funcionará.

La mayoría de los autores no explican cómo llegaron a los números, fórmulas, ecuaciones, etc. que usaron. Creen que su única obligación con el lector es proporcionar una prueba válida y cualquier otra cosa se considera una distracción. Gauss y Ramanujen son famosos por hacer esto.

4. ¿Cómo pudo el autor elegir $a-4, a-2$ y $a$ como los divisores impar de $n$ porque si $a > 7$ entonces no son los únicos divisores impar de $n$ ?

No son (necesariamente) el Los divisores de impar de $n$ pero definitivamente son divisores impar de $n$ dado que $a \ge 7$ .

Hay una cosa muy sutil que está pasando aquí. Dice que "cualquiera de estos dos números son relativamente primos". Lo que está diciendo, sin pruebas, es que cualquiera de tres números impar consecutivos son primos en pares. Esto es cierto y, porque es cierto, puede concluir que $(a-4)(a-2)a | n$ . Resulta que cualquier cuatro números impar consecutivos no pueden ser primos en pares; por ejemplo, $3,5,7,9$ donde $ \gcd (3,9) = 3$ . Este hecho añade un poco de apoyo a su uso del número $7$ .

Answer 2

1) ¿Por qué el autor elige un para ser el mayor entero impar?

Porque si no fuera el más grande, no podría decir con certeza $(a + 2)^2 \ge n$ que se requiere para su prueba. Sabe que el más grande existe como n es finito.

2 y 3) ¿Por qué el autor utiliza $ \ge $ que otros. Y por qué 7.

Quiere demostrar algo sobre los tres números positivos de impar a-4, a-2 y a. Y no funcionaría de a = 1. Para tener tres números impar positivos mayores que 1, a debe ser al menos 7.

4) ¿Cómo llegó el autor a a-4, a-3, a. si no son los únicos divisores impar?

No son los únicos, pero son tres. Y siendo los tres más grandes cuando observa $a^2 (a-7) + 4(a-1) \leq 0$ esto pone la mayor restricción en sus resultados para que pueda concluir lo máximo.