Un haz de línea complejo es trivial si y solamente si la primer clase de Chern es cero

Question

Que $\xi$ sea un haz de línea compleja sobre un CW-complejo $B$. Quiero demostrar que $\xi$ es trivial si y sólo si $c_1(\xi)=0$.

Mi intento: Supongamos que $c_1(\xi)=0$. Entonces el Euler clase $e(\xi)=0$. Desde $e(\xi)=o_2(\xi)$, existe una sección nonvanishing de $\xi|_{sk^2 (B)}$, denotado como $X\in \Gamma(\xi|_{sk^2 (B)})$. $X,JX$ son linealmente independientes secciones de $\xi|_{sk^2 (B)}$. Así $\xi|_{sk^2 (B)}$ es un paquete trivial. ¿Es trivial demostrar que $\xi$?

Answer 1

Nos acercamos a el caso de los complejos colectores por medio de la gavilla cohomology.

En un complejo colector de $M$, el homolorphic/$C^\infty$ línea de los paquetes pueden ser identificados con $H^1(M, \mathcal O^*)$$H^1(M, \mathcal A)$, respectivamente (la gavilla cohomology con coeficientes en la no-desaparición de holomorphic/$C^\infty$ funciones).

El holomorphic exponencial de la secuencia exacta de las poleas $$0 \to \mathbb Z \stackrel{2\pi\cdot}\to \mathcal O \stackrel{\exp}{\to} \mathcal O^* \to 0 \hspace{2em} (1)$$ induce límite homomorphism $$c_1: H^1(M, \mathcal O^*) \stackrel{\delta}{\to} H^2(M, \mathbb Z),$$ que puede ser tomado como la definición de la primera clase de Chern de un holomorphic línea de paquete.

Por otra parte, la inclusión de $(1)$ en la $C^\infty$ exponencial de la secuencia exacta de las poleas $$0 \to \mathbb Z \stackrel{2\pi\cdot}\to \mathcal A \stackrel{\exp}{\to} \mathcal A^* \to 0, \hspace{3em}$$

por el functoriality de gavilla cohomology, induce el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{array}{ccl} H^1(M, \mathcal O)&\to&H^1(M,\mathcal O^*)&\to&H^2(M,\mathbb Z)\\ \uparrow&&\hspace{2em}\uparrow&&\hspace{2em}\|\\ H^1(M, \mathcal A)&\to&H^1(M,\mathcal A^*)&\to&H^2(M,\mathbb Z),\\ \end{array}$$ donde $H^1(M, \mathcal A)=0$ tiene de la existencia de una (real) de la partición de la unidad, por lo que $$H^1(M, \mathcal A) \hookrightarrow H^2(M, \mathbb Z)$$ is an inclusion, and the map $H^1(M, \mathcal O) \H^1(M, \mathcal A)$ is the tautological forgetting map from holomorphic line bundles to $C^\infty$ línea de paquetes.

Por lo tanto, la primera clase de Chern de un holomophic línea de paquete completamente determina como un $C^\infty$ paquete. Para obtener más detalles, consulte Griffiths, Harris, "los Principios de la Geometría Algebraica", la sección 1.1 o la siguiente respuesta en ResearchGate.net.

Por cierto, el kernel $$\mathfrak P = \ker c_1: H^1(M, \mathcal O) \to H^2(M, \mathbb Z)$$ se llama la Picard variedad de un complejo colector de $M$, o la Jacobi variedad si $M$ es una curva, que es un complejo toro de la dimensión de la igualdad en el género de la curva.

Por otra parte, la Torelli teorema establece que una suave compleja curva proyectiva está totalmente determinado por su Jacobi variedad con alguna estructura adicional, por lo que existe una amplia brecha entre holomorphic línea de paquetes que son holomorhically y $C^\infty$ trivial.

Answer 2

Deje $\xi:E \to B$ ser un complejo de la línea de paquete.

Edit: mi primer intento no fue cierto en que la generalidad, aunque la fuga de euler clase es equivalente a ninguna parte desaparición de la sección si el paquete tiene el mismo rango que el subyacente complejo que debe ser cerrado orientable colector.

Que hacer para que voy a tratar de dar una descripción para resolver el problema correctamente.

Sabemos que cada complejas $n$-vector paquete de $\xi$ $B$ está dado por el pullback a lo largo de un mapa de $B \to G_n(\mathbb C^\infty)=G_n$, donde el último es el único hasta homotopy. Para la línea de paquetes llegamos $G_1 = \mathbb CP^\infty$. Sabemos que $G_1$$K(\mathbb Z,2)$, por lo que es natural la identificación de $[B,G_1] = H^2(B;\mathbb Z)$, por lo tanto, por el comentario de arriba: $\{\text{iso-classes of line bundles}\} = H^2(B;\mathbb Z)$. Esto le da el resultado.

Nuevo aviso: puede equipar la iso-clases de línea de paquetes con la estructura de un grupo abelian. Mirando más de cerca a las identificaciones anteriores (especialmente la Eilenberg Maclane propiedad de espacio) te darás cuenta de que este es, de hecho, un isomorfismo de grupos.