¿Un sistema de "tipo diagonal" siempre es un conjunto nulo?

Question

Para esta pregunta, vamos a $\mu$ ser la medida de Lebesgue en $[0,1]$ $\mu^2$ el producto medida en $[0,1]^2$.

Supongamos que tengo una función medible $f\colon [0,1]^2\to \mathbb{R}$. Para todos los $r\in \mathbb{R}$, vamos $$Z(r) = \{(x,y)\mid f(x,y) = r\} = f^{-1}[\{r\}],$$ and suppose that $\mu^2(Z(i)) = 0$. Now given $x\in [0,1]$, let $$Z(r)_x = \{y\in [0,1] \mid f(x,y) = r\}$$ be the fiber above $x$, and let $$N(r) = \{x\mid \mu(Z(r)_x) > 0\}.$$ This is the set of all $x$ such that $Z(r)$ has positive measure in the fiber above $x$.

• Por Fubini, $N(r)$ es un conjunto null: es la preimagen de $(0,\infty]$ bajo la función medible $g(x) = \int_y 1_{Z(r)}(x,y)\, d\mu$, y desde $\int_x g(x)\,d\mu = \mu^2(1_{Z(r)}) = 0$, $g$ es $0$ en casi todas partes.
• Para todos $x\in [0,1]$, $\{r\in \mathbb{R}\mid x\in N(r)\}$ es contable, ya que la fibra por encima de $x$ puede contener a la mayoría de los countably muchos discontinuo medida positiva conjuntos.

Deje $D = \bigcup_{r\in \mathbb{R}} N(r)^2$ donde $N(r)^2 = \{(x,x')\mid x,x'\in N(r)\}$. Me gustaría mostrar que $\mu^2(D) = 0$.

Intuitiva brillo: necesito dos piezas de información, $x$$y$, para especificar un real $f(x,y)$. Si yo escojo $x$ $y$ al azar, cualquier particular real aparece con una probabilidad de $0$. Pero dado que la información parcial $x$, yo podría saber que un real $r$ aparece con probabilidad positiva cuando cojo $y$ al azar (es decir,$x\in N(r)$). En este caso vamos a decir $r$ es probable, dada $x$. Sabemos que en la mayoría de los countably muchos reales son probablemente determinado $x$, y la probabilidad de que $x$ hace que cualquier particular reales probable es $0$. Ahora si puedo elegir dos parciales piezas de información $x$ $x'$ independiente, quiero mostrar que casi seguramente no hay real $r$ que es probable, dada $x$ y es probable determinado $x'$. Para mí, esto parece intuitivamente correcto.

Dos observaciones:

1. Si $D$ es medible, es una sencilla consecuencia del teorema de Fubini que $\mu^2(D) = 0$. De hecho, la fibra por encima de todas las $x$ consta de una unión de countably muchos null conjuntos. El problema es que muestra que $D$ es medible...
2. Podemos ver esto como una generalización del hecho de que la diagonal tiene una medida de $0$ $[0,1]^2$ (tomando $f(x,y) = x$), y similar a prueba (para el que no Fubini prueba de este hecho) podría funcionar. De ahí el título.

Answer 1

Primero vamos a demostrar que es suficiente para comprobar esto para cada Borel mapa de $f$. Dado $f$ medibles, el uso de Lusin del teorema restringida continuidad, se puede elegir un Borel mapa de $g$ tal que $f, g$ está de acuerdo con una.e. Deje $W = \{x: \{y : f(x, y) \neq g(x, y)\}$ no $\mu$nulo$\}$. A continuación, $W$ $\mu$- null. Supongamos $(x, x') \in D_f \setminus D_g$. Luego de algunos $r$,$x, x' \in N_f(r) \setminus N_g(r)$. Así, uno de los conjuntos de $\{y : f(x, y) \neq g(x, y)\}$, $\{y : f(x', y) \neq g(x', y)\}$ no es $\mu$-null. Por lo $(x, x') \in W \times [0, 1] \cup [0, 1] \times W$. Por lo tanto $D_f \setminus D_g$ es nulo. Así, podemos asumir que el $f$ es de Borel.

Ahora $(x, x') \in D = D_f$ fib $(\exists r)((f^{-1}[\{r\}])_x \wedge (f^{-1}[\{r\}])_{x'}$ $\mu$positivo). Por lo tanto, suficiente para comprobar que el $\{(r, x, x') : ((f^{-1}[\{r\}])_x \wedge (f^{-1}[\{r\}])_{x'}$ $\mu$positivas)$\}$ es Borel desde entonces $D$ sería analítica y por lo tanto medibles. Para esto es suficiente para comprobar que el $T = \{(r, x) : ((f^{-1}[\{r\}])_x$ $\mu$positivos$)\}$ es de Borel. Deje $B = \{(r, x, y): f(x, y) = r\}$ ser el Borel gráfico de $f$. A continuación, $T = \{(r, x): B_{(r, x)} = \{y: (r, x, y) \in B\}$ $\mu$positivos$\}$. Por lo tanto podemos aplicar el Ejercicio 22.25 en Kechris " del libro.