Estoy marcado esto como multivariable de cálculo debido a que es potencialmente involucra la toma de derivadas parciales.
Estoy trabajando en un tratamiento matemático de Cournot duopolio modelos (no a la tarea, acaba de preparar para un examen de mañana). Un sencillo de dos reproductor de Cournot modelo es de la forma $p=1000-q_1-q_2$ donde $p$ es sinónimo de precio, y $q_i$ es la cantidad producida por la empresa $i$. Las rentabilidades de cada empresa están dados por $pq$ menos algún costo marginal veces $q$, decir $-10q$. En este caso, para encontrar la mejor respuesta para empresa de $i$, me gustaría tener su rentabilidad función de $\pi_i=(1000-q_i-q_j)q_i-10q_i$ y tome su derivada con respecto a $q_i$, consiguiendo $1000-2q_i-q_j-10$. Entonces yo les conjunto es igual a $0$, solución para $q_i$, y consiguiendo $q_i=\frac{990-q_j}{2}$, obteniendo así una expresión de la maximización de la $\pi_i$ en términos de $q_j$. Haciendo lo mismo con $q_j$, I se $q_j=\frac{990-q_i}{2}$ ya que la función es simétrica. Entonces me puse ecuaciones iguales el uno al otro/sustituto de uno a otro, y conseguir el equilibrio de Nash (maximización de beneficios para ambos), fácil.
El problema que estoy teniendo es tratar con $n$ de las empresas. Supongamos que a>c>0, b>0. Supongamos que tenemos la cantidad total de salida $Q=\sum_{i=1}^{n} q_i$ y el precio de ser dado como $p=a-bQ$. A continuación, vamos a beneficio de la empresa $i$ se define como $\pi_i=p(Q)q_i-cq_i=(a-bQ)q_i-cq_i$. La definición de $Q_{-i}$ para denotar la suma de las cantidades de todas las empresas, pero de firmes $i$, podemos reescribir la función de beneficios de $i$ $\pi_i=(a-bq_i-bQ_{-i})q_i-cq_i$ (observar que $q_i+Q_{-i}=Q$). A partir de aquí, lo puedo volver a tomar una derivada parcial con respecto a $q_i$, y encontrar la rentabilidad de la maximización de la función a ser $\pi_i'=a-2bq_i-bQ_{-i}-c$. La reescritura de $q_i$, I se $q_i=\frac{a-bQ_{-i}-c}{2b}$. Así, por un arbitrario firma de $j$, la maximización de la función en términos de $Q_{-j}$ será dado por $q_j=\frac{a-bQ_{-j}-c}{2b}$.
El problema que tengo es que yo ya no puedo sustituir fácilmente como lo hice en el primer ejemplo, con sólo dos empresas. El libro me da una pista: Suma de las mejores funciones de respuesta a los diferentes jugadores será de ayuda. No sé qué hacer con ella. Podría usted explicar cómo encontrar una intersección dada $n$ tales funciones en la forma presentada anteriormente?
EDIT: yo podría estar en algo aquí, la retroalimentación apreciado!
Así que me decidí a seguir los libros de consejos y ver qué sale de ella. Sumando ambos lados de $q_i=\frac{a-bQ_{-i}-c}{2b}$ sobre todos los actores puedo conseguir $q_1+\dots +q_n=Q=\frac{na}{2b}-\frac{nc}{2b}-\frac{(n-1)(q_1+\dots + q_n)}{2} \to 2Q=\frac{na}{b}-\frac{nc}{b}-(n-1)(q_1+\dots + q_n)$=$\frac{na}{b}-\frac{nc}{b}-(n-1)(Q) \to (n+1)Q=n\frac{(a-c)}{b} \to Q=\frac{n}{n+1} \frac{(a-c)}{b}$. Por lo tanto $q_i=\frac{n}{n+1} \frac{(a-c)}{b} - Q_{-i}$. Esperemos que soy, al menos en el camino correcto, aunque yo no puedo ver a dónde lleva esto a mí todavía.
