Creación de un marco apretado de $\mathbb{R}^{n}$ al ya conocer algunos de sus vectores.

Question

Me pregunto si hay o no una forma óptima para agregar filas a una matriz dada $S\in\mathbb{R}^{m\times mn}$, $m\leq n$, de modo que las columnas de la matriz resultante forman un sistema ortogonal de vectores de igual norma.

He estado luchando con este problema durante bastante tiempo ahora, y la razón es que no quiero cambiar mi partida matriz $S$.

Esto es equivalente a crear un estrecho marco de $\mathbb{R}^{mn+v}$, $v\geq 0$ cuando se conocen algunos de sus vectores. Hasta este punto, he tenido éxito en la creación de un estricto marco de cualquier número de sus vectores, pero no sé cómo minimizar $v$.

Answer 1

Si el número de $v$ de filas adicionales no preespecificado, pero elegida a voluntad, siempre es posible anexar una matriz cuadrada a $S$ para formar un $m(n+1)\times mn$ matriz $A$ que ha mutuamente ortogonales columnas de igual normas, aunque no estoy seguro de si esto es calificado como "óptima". De todos modos, la construcción es conceptualmente fácil. Deje $S=U(\Sigma,0)V^\top$ ser una descomposición de valor singular. Tomar $$T = \pmatrix{\sqrt{\sigma_1^2I_m-\Sigma^2}\\ &\sigma_1I_{m(n-1)}}V^\la parte superior, \quad A=\pmatrix{S\\ T}.$$ Tenga en cuenta que $\sigma_1I_m-\Sigma\succeq0$ tiene una verdadera raíz cuadrada porque es positivo semidefinite. Ahora $$A^\top A=S^\top S+T^\la parte superior T=V\pmatrix{\Sigma^2\\ &0}V^\la parte superior +V\pmatrix{\sigma_1^2I_m-\Sigma^2\\ &\sigma_1^2I_{m(n-1)}}V^\top=\sigma_1^2I_{mn}.$$ Por tanto, las columnas de a $A$ son mutuamente ortogonales y cada columna tiene norma $\sigma_1$.

Si $m+v$ que se requiere para ser igual a $mn$, es decir, si el completado de la matriz $A$ que se requiere para ser cuadrado, claramente la conclusión es posible si y sólo si $SS^T=\alpha I_m$ algunos $\alpha>0$. Si esta condición se satisface, usted puede simplemente llenar en las otras filas por bacterias Gram-Schmidt proceso.