Demostrar que $3^{4n+2} + 1$ es divisible por $10$

Question

Estoy un poco atascado en esta cuestión, se agradece cualquier ayuda.

Demuestre que para cada $n\in\mathbb{N}$ , $3^{4n+2} + 1$ es divisible por $10$ .

Answer 1

sugerencia : $3^{4n+2} = (10-1)^{2n+1}$ .

Answer 2

Una pista: $$3^{4n+2}=3^{4n}\cdot 9$$ y $$3^{4n}\equiv 1 \pmod{10}$$ desde $\phi(10)=4$ .

Answer 3

Cuál es la ley de formación de los restos de la división por $10$ de los poderes $3^{n}$ ?

(Para la notación, véase aritmética modular .)

$$\left\{ \begin{array}{c} 3\equiv 3\quad \pmod{10} \\ 3^{2}\equiv 9\quad \pmod{10} \\ 3^{3}\equiv 7\quad \pmod{10} \\ 3^{4}\equiv 1\quad \pmod{10} \end{array}\right. $$

$$\left\{ \begin{array}{c} 3^{5}\equiv 3\quad \pmod{10} \\ 3^{6}\equiv 9\quad \pmod{10} \\ \cdots \\ \cdots \end{array}\right. $$

Así, con respecto al divisor $10$ los restos de $3^{n}$ son periódicos ( $3,9,7,1,3,9,7,1,\dots$ ) con periodo $4$ . Esto, junto con $4n+2\equiv 2\quad \pmod{4}$ produce $3^{4n+2}\equiv 3^{2}\quad \pmod{10}$ . También $1\equiv 1\quad \pmod{10}$ . Por lo tanto, para todos los $n\ge 1$ $$3^{4n+2}+1\equiv 3^{2}+1\equiv 0\quad \pmod{10},$$

lo que significa que los restos de la devisión de $3^{4n+2}+1$ por $10$ son $0$ .

Answer 4

$$9+1=10$$ $$81 \times \left( 3^{4n-2} +1 \right) = 3^{4n+2} + 1 +80$$

Answer 5

HINT $\rm\ \ \ A^K\: \equiv -1\ \ \Rightarrow\ \ A^{\:J+2\:K}\ \equiv\ A^{\:J}$