¿Si $a\geq 0$ y $a<\epsilon$ % todo $\epsilon>0$podemos mostrar $a=0$ sin la ley de medio excluido?

Question

Soy un estudiante de Doctorado estudiando para un próximo análisis de la prueba. Yo estaba trabajando a través de algunos problemas con un grupo de estudio y uno de los problemas era mostrar que funciona con una cierta propiedad envío de conjuntos de medida cero a los conjuntos de medida cero. Con la propiedad, es muy fácil demostrar que para cualquier conjunto de medida cero, la medida de la imagen es menor que cualquier número positivo. Me dijo: "podemos utilizar una rápida contradicción para obtener el resultado" y un amigo me dijo: "¿por qué hacer la contradicción cuando se puede demostrar directamente?"

Su razonamiento era que si un no-número negativo es menor que cualquier número positivo, es claramente cero. Definitivamente estoy de acuerdo con esto, pero no veo una manera de demostrar que sin derivar una contradicción. Entonces, mi pregunta es, ¿alguien sabe de un constructivista de la prueba del hecho de que un sin número negativo es menor que cualquier número positivo es cero?

Answer 1

Muchos sistemas de análisis constructivo rechazar el clásico axioma: $$ (\forall x \in \mathbb{R})[x < 0 \lor de x = 0 \lor x > 0].\qquad\qquad\qquad (*) $$ Intuitivamente, este rechazo proviene del hecho de que, en general, no hay manera de decidir, dada una $x \in \mathbb{R}$, que de las tres alternativas tiene. Sin embargo, la fórmula análoga a $(*)$ $\mathbb{Q}$ es de forma constructiva aceptable, debido a que dada una fracción se puede saber qué opción es por la inspección.

Hay algunos sistemas de análisis constructivo que son compatibles con la existencia de infinitesimals. En tales sistemas, el axioma anterior realmente no espera, y el resultado de la pregunta no será demostrable.

Sin embargo, hay algunos sistemas constructivos donde usted puede probar que el resultado de la pregunta, que es $$ (\forall x \in \mathbb{R})[x \geq 0 \de la tierra (\forall r \in \mathbb{Q}^+)[x \leq r] \a x = 0].\qquad\qquad\qquad (**) $$ Por desgracia, el trabajo constructivo de las matemáticas requiere de una cuidadosa atención a las definiciones de "número real" y las relaciones de orden en los reales. Diferente sistema constructivo definir estos en diferentes formas que afectan a los teoremas que pueden ser probadas.

En los sistemas que tengo en mente, un número real se define como una rápida convergencia de Cauchy de la secuencia de los racionales, es decir, una secuencia $(x_n)$ de los racionales tales que $|x_n - x_m| \leq 2^{n}$ al $n < m$. La relación $x \leq y$ se define como $$ (\forall k)[x_k \leq y_k - 2^{k+1}], $$ y $x = y$ se define como $x \leq y \land y \leq x$. El número real $0$ se define como la constante de Cauchy de la secuencia de hechos de $0_\mathbb{Q}$, y se utiliza el mismo método para incrustar $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$. Estas definiciones, por ejemplo, son compatibles con el Obispo del sistema de análisis constructivo.

En tales sistemas, se puede demostrar (**) sin la ley del medio excluido (pero con el hecho de que (*) se tiene para $\mathbb{Q}$).

Para ello, ya tenemos $0 \leq x$, por supuesto, así que tenemos que demostrar $x \leq 0$ y hemos terminado. Esto significa que tenemos que demostrar que $(\forall k)[x_k \leq -2^{-k+1}]$.

Para cada racional $r$, ya sabemos que el $x \leq r$. En particular, sabemos $(\forall r > 0)(\forall k)[x_k \leq r - 2^{-k+1}]$. Ahora nos fix $k$ y aplica (*) en el formulario de la propuesta $$ x_k < -2^{k+1} \lor x_k = -2^{k+1} \lor x_k > -2^{k+1}. $$ La disyunción aquí es decidable, porque $x_k$ es una explícita racional. Y podemos demostrar que $x_k > -2^{-k+1}$ es imposible porque, si sucede, entonces podemos escribir (de manera constructiva) $x_k = s + -2^{-k+1}$, y, a continuación, deje $r = s/2$ y tendremos $x_k > r - 2^{-k+1}$, lo cual es imposible porque sabemos que $x \leq r$ en el sentido de $\mathbb{R}$.

Ahora, aunque el medio excluido no es comprobable, de manera constructiva, la siguiente tautología es comprobable de manera constructiva: $$ (A \lor B \lor C) \de la tierra (\lnot C) \(a \lor B). $$ En nuestro caso, eso significa que podemos probar $(x_k < 2^{-k+1} \lor x_k = 2^{-k+1})$ todos los $k$. Que es exactamente lo que necesitamos para demostrar a mostrar que $x \leq 0$ en el sentido de $\mathbb{R}$, completando la prueba de $(**)$.