Algunas de las preguntas en teoría de conjuntos

Question

Tengo algunas preguntas que quedaron sin respuesta para mí:

1. Supongamos que para cada $\alpha<\kappa$ existe un subconjunto $A_\alpha$ $\kappa$ de cardinalidad $\kappa$. Demostrar que existe un subconjunto X de a$\kappa$, de modo que para cada $\alpha<\kappa$ : |$A_\alpha\cap$ X|=|$A_\alpha$ \ X|=$\kappa$.
2. {$A_\alpha | \alpha<\aleph_1$} una colección de no-estacionarios distintos conjuntos. Supongamos que su unión es un conjunto estacionario. Demostrar que el conjunto {$minA_\alpha | \alpha<\aleph_1$} es estacionario.
3. Para cada par de conjuntos a,B $\in P(\omega)$ vamos a denotar Un $\subseteq^*$ B si $|A\setminus B|<\aleph_0$. Demostrar que existe una secuencia de longitud $\aleph_1$ en relación al $\subseteq^*$ .

Apreciaré cualquier ayuda con respecto a estas cuestiones. Gracias de antemano, Pavel

Answer 1

Pregunta 3 admite una respuesta fácil, una vez que comprobar dos hechos:

$A\subseteq^* B\subseteq^* C$ implica $A\subseteq^* C$.

Esto es totalmente sencillo: Si $A\setminus B\subseteq m$$B\setminus C\subseteq n$,$A\setminus C\subseteq \max\{m,n\}$.

El segundo es:

Dado un (estrictamente) $\subseteq^*$-aumento de la secuencia de $(A_n\mid n\in\omega)$ (por lo $A_n\setminus A_{n+1}$ es finito, sino $A_{n+1}\setminus A_n$ es infinita), hay un $B$ $A_n\subseteq^* B$ todos los $n$ (de modo que, en particular, $B\setminus A_n$ es infinita), y tal que $\omega\setminus B$ es infinito así.

Para esto: Definir dos estrictamente creciente secuencias de números de $m_0<m_1<\dots$ y $$t_{00}<t_{01}<t_{10}<t_{11}<t_{20}<t_{21}<\dots$$ so that $A_n\setminus A_{n+1}\subseteq m_n$ for all $n$, $[t_{n0},t_{n1})\cap (\omega\setminus A_{n+1})\ne\emptyset$, and $m_n<t_{n0}<t_{n1}<m_{n+1}$ for all $$ n. (Comprobar que esto es posible.)

Vamos $$ B=\bigcup_n [m_n,m_{n+1})\cap A_{n+1}. $$ Check that $A_n\setminus B\subseteq m_n$ for any $n$: If $s\en A_n\setminus B$ and $s\ge m_n$ then $s\A_{n+1}$ (by definition of $m_n$), so $s\ge m_{n+1}$ (or else $s\B$); inductively, this gives us that $s\ge m_k$ for all $k$, lo cual es absurdo.

Además, por construcción, $\omega\setminus B$ contiene al menos un elemento de cada intervalo de $[t_{n0},t_{n1})$, por lo que es infinito.

El uso de estos dos hechos, un sencillo transfinito de la construcción de la longitud de la $\omega_1$ nos da la deseada $\subseteq^*$ el aumento de secuencia $(A_\alpha\mid\alpha<\omega_1)$:

Comience con cualquier $A_0\subseteq\omega$ infinito y coinfinite. Dado $A_\alpha$ infinito y coinfinite, vamos a $A_{\alpha+1}$ consta de $A_\alpha$ y una infinita-coinfinite subconjunto de $\omega\setminus A_\alpha$.

En el límite de las etapas $\alpha<\omega_1$, determinado $(A_\beta\mid \beta<\alpha)$, fix $(\beta_n\mid n<\omega)$ el aumento y cofinal en $\alpha$ y usar el segundo hecho de encontrar a $A_\alpha$ $A_{\beta_n}\subseteq^* A_\alpha$ todos los $n$ $\omega\setminus A_\alpha$ infinito. Que $A_\beta\subseteq A_\alpha$ todos los $\beta<\alpha$ ahora sigue por el primer hecho.

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Para la pregunta 2, el uso de Fodor lema: Supongamos que, hacia una contradicción que el $A_\alpha$ son disjuntos a pares no-estacionario subconjuntos de a $\omega_1$ tal que $\bigcup_\alpha A_\alpha$ es inmóvil, y sin embargo $$B=\{{\rm min}(A_\alpha)\mid\alpha<\omega_1\}$$ is non-stationary. Let $A=\bigcup_\alpha A_\alpha\setminus B$. Then $$ is stationary. Define a regressive $f:\a\omega_1$ as follows: Given $\beta\en$, there is a unique $\alpha$ such that $\beta\A_\alpha$. Then set $f(\beta)=\min(A_\alpha)$.

Por Fodor, $f$ es constante en un conjunto estacionario. Este es, por construcción, un subconjunto de un fijo $A_\alpha$ (desde el $A_\alpha$ son disjuntos a pares), contradiciendo que no $A_\alpha$ es estacionaria.

Como un comentario, tenga en cuenta que usted necesita algo así como la suposición de que el $A_\alpha$ son disjuntas. Fácil contraejemplo de lo contrario se obtiene mediante el establecimiento $A_\alpha=\alpha+1$. A continuación,$\bigcup_\alpha A_\alpha=\omega_1$, sin embargo,$B=\{0\}$.

Answer 2

Aquí es una solución para el primer problema:

Ya sabemos que para cada cardenal $\kappa$ tenemos $\kappa=\kappa\cdot\kappa$. Para separar cada $A_\alpha$ a $\kappa$ particiones de tamaño $\kappa$ y vamos a llamarlos $A_{\alpha,\beta}$. Ahora vamos a $\{B_\alpha : \alpha<\kappa\}$ ser una enumeración de todas las $A_{\alpha,\beta}$. Observe ahora que tenemos que encontrar conjuntos de $X,Y$ tal que para cada a $\alpha<\kappa$ tenemos $B_\alpha\cap X\neq\varnothing\neq B_\alpha\cap Y$$X\cap Y=\varnothing$.

Cada uno de estos grupos satisfacen la propiedad que queremos, ya que en cada $A_{\alpha,\beta}$ existe un elemento en $X$ y una en $Y$ y, por tanto, $\kappa$ elementos de $A_\alpha$ $X$ $\kappa$ $Y$ y, además, $X\cap Y=\varnothing$ le dará $Y\subset\kappa\setminus X$$X\subset\kappa\setminus Y$. Voy a construir dos conjuntos de $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ inductivo:

Deje $\gamma_0$ ser el menor elemento de a $B_0$ y hacer $\mathcal{C}_0=\{\gamma_0\}$. Ahora vamos a $\delta_0$ ser el menor elemento de a $B_0\setminus\mathcal{C}_0$ y deje $\mathcal{D}_0=\{\delta_0\}$. Supongamos ahora que para cada $\xi<\alpha$ hemos definido $\mathcal{C}_\xi$ $\mathcal{D}_\xi$ de manera tal que cada uno de ellos tienen en la mayoría de $|\xi+1|$ elementos.

Si $(\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{C}_\xi)\cap B_\alpha$ no está vacía deje $\mathcal{C}_\alpha=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{C}_\xi$ de lo Contrario vamos a $\gamma_\alpha$ ser el menor elemento de a $B_\alpha\setminus(\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{D}_\xi)$ (este elemento ha de existir debido a que el sindicato tiene en la mayoría de las $|\alpha|$ elementos, mientras que $B_\alpha$$\kappa$) y deje $\mathcal{C}_\alpha=(\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{C}_\xi)\cup\{\gamma_\alpha\}$ (observar que este tiene en la mayoría de las $|\alpha+1|$ elementos). Ahora si $(\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{D}_\xi)\cap B_\alpha$ no está vacía deje $\mathcal{D}_\alpha=\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{D}_\xi$. De lo contrario, si $\delta_\alpha$ es el menor elemento de a $B_\alpha\setminus\mathcal{C}_\alpha$ (de nuevo, esta existe) deje $\mathcal{D}_\alpha=(\bigcup_{\xi<\alpha}\mathcal{D}_\xi)\cup\{\delta_\alpha\}$. Por último vamos a $\mathcal{C}=\bigcup_{\alpha<\kappa}\mathcal{C}_\alpha$$\mathcal{D}=\bigcup_{\alpha<\kappa}\mathcal{D}_\alpha$.

Por último, observe que $\mathcal{C}\cap\mathcal{D}=\varnothing$ debido a la por encima de la construcción y para cada $\alpha<\kappa$ tenemos $B_\alpha\cap\mathcal{C}\neq\varnothing$$B_\alpha\cap\mathcal{D}\neq\varnothing$.