Poder conjunto de establecer diferencias

Question

Suponga que $\mathcal P(A-B)= \mathcal P(A)$. Demostrar que $A\cap B = \varnothing$.

Lo que yo hice: He intentado probar esto directamente y me quedé atrapado.

Deje $X$ representan un conjunto no vacío, y deje $X\in\mathcal P(A-B)$.

Por definición de juego de poder y diferencia de conjuntos:
$X\subseteq A$ $X\nsubseteq B$.

Por definición, de un subconjunto y de subconjunto negación:

Deje $y$ ser un elemento arbitrario de $X$ tal forma que: $(\forall y)(y \in X \rightarrow y \in A)\land (\exists y)(y \in X \land y \nsubseteq B)$

Aquí es donde me quedo pegado, ¿cómo confirmo que no tienen elementos comunes con el hecho de que hay al menos un elemento que no comparten?

También traté de probar el contrapositivo suponiendo que la intersección no es distinto, en los que dejaba $X$ ser un subconjunto de la intersección, a continuación, $X$ debe pertenecer a ambos $A$ $B$ y que es donde me quedé atrapado.

Me disculpo por la mala formato de cartel de la primera vez

Answer 1

SUGERENCIA: $A\in\mathcal P(A)$, lo $A\in\mathcal P(A-B)$. ¿Qué se puede decir acerca de todos los elementos en $\mathcal P(A-B)$$B$?

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Ahora que hemos cubierto la aproximación a la respuesta correcta, déjame darte una breve crítica acerca de sus esfuerzos.

1. Si $X\in\mathcal P(A-B)$ no es justo que $X\nsubseteq B$, es que el $X\cap B=\varnothing$, esto es mucho más fuerte de hecho, y hacemos uso de ella aquí, como se ha visto anteriormente.

2. En el explícitas de la escritura que $X\subseteq A$$X\nsubseteq B$, es decir que hay un $y\in X$ tal que $y\nsubseteq B$. Eso podría ser un error tipográfico, y que significaba $y\notin B$, pero sin embargo, se debe ser cauteloso acerca de la mezcla $\in$$\subseteq$.

3. Como antes, se escribe en el último intento que trate de tomar $X$ en la intersección de las $A$$B$, entonces es un subconjunto de ambos, eso tampoco es verdad. Es un elemento de ambos. Y un subconjunto de la intersección es un subconjunto de ambos $\mathcal P(A)$$\mathcal P(B)$. Pero eso es principalmente lo que se puede decir acerca de eso.

Answer 2

Probaremos el contrapositive:

Si $A \cap B \neq \emptyset$, entonces el $\mathcal P(A - B) \neq \mathcal P(A)$.

Suponer que existe algún elemento $x \in A \cap B$ así que $x \in A$ y $x \in B$. Entonces $x \notin A - B$ (if no, $x \in A - B$, entonces el $x \notin B$, contradiciendo el hecho de que $x \in B$ %). Esto implica que el $\{x\} \subseteq A$ y $\{x\} \not\subseteq A - B$ que $\{x\} \in \mathcal P(A)$ $\{x\} \notin \mathcal P(A - B)$. Así $\mathcal P(A - B) \neq \mathcal P(A)$, como se desee. $~~\blacksquare$

Answer 3

Pensar sólo en el conjunto de $A$ sí:

$A \in \mathcal P(A) $ es un subconjunto de $A\setminus B \subseteq A$ iff $A\setminus B = A$iff $A \cap B=\emptyset$