Si $F$ es entera con una singularidad removible en $\infty$ entonces $F$ es constante?

Question

En la página 24 del libro de Krantz Análisis complejo , existe la siguiente prueba:

Proposición 2: Si $F$ está completo y $F$ tiene una singularidad extraíble en $\infty$ entonces $F$ es constante.

Prueba: Examinando $F(1/z)$ vemos que $F$ debe tener un límite finito en $\infty$ . Así, $F$ está acotada. Por el teorema de Liouville, $F$ es constante.

Me resulta misterioso lo que se quiere decir con la primera frase. ¿Qué quiere decir con "examinar $F(1/z)$ "? He intentado ampliar $F$ tiene una serie Laurent alrededor de $0$ y luego utilizando el hecho de que $F(1/z)$ tiene el origen como una singularidad removible, pero no entendí la conclusión.

¿La idea es hacer esto?

Dejemos que $$ F(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}a_nz^n+\sum_{n=0}^\infty a_nz^n $$ sea la expansión de Laurent alrededor del origen. Entonces $$ F(1/z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}a_nz^{-n}+\sum_{n=0}^\infty a_nz^{-n} $$ pero como $F(1/z)$ tiene una singularidad removible en el origen, realmente tenemos $$ F(1/z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}a_nz^{-n}+a_0. $$ Así que $a_n=0$ para $n>0$ y por lo tanto $F(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1}a_nz^n+a_0$ Así que $\lim_{z\to\infty}F(z)=a_0<\infty$ ?

Answer 1

Su idea va definitivamente en la dirección correcta. Ha encontrado que $F(z)$ tiene un límite finito como $|z| \to \infty$ , por lo que se pueden encontrar constantes $M$ y $r$ tal que $|F(z)| \leq M$ para todos $|z| > r$ . Ahora bien, como $F$ es completa, ¿qué se puede decir de $|F(z)|$ para $|z| \leq r$ ? ¿Puede concluir que $|F(z)|$ está acotado para todo $z$ ?

Answer 2

Aquí hay un enfoque a través de la expansión de Laurent:

Digamos que tenemos la expansión de Taylor alrededor de cero: $F(w)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nw^n$ , entonces si $w=1/z$ para $z\neq 0$ y por unicidad de la expansión de Laurent tenemos que ésta es exactamente la serie de Laurent. Ahora, una singularidad removible en el infinito de $F(z)$ significa una singularidad removible para $F(1/z)$ en $z=0$ pero esto sólo puede ocurrir si $a_n=0$ para $n>0$ .