Hay una estructura compleja en la 6-esfera?

Question

No sé que le pidió por primera vez esta pregunta, pero es una pregunta que creo que muchos diferencial y complejo de los geómetras han tratado de responder, porque suena tan simple y fundamental. Hay incluso la publicación de una serie de pruebas que no son tomadas en serio, aunque nadie parece saber exactamente por qué están equivocados.

El último publicado prueba para la afirmativa: http://arxiv.org/abs/math/0505634 aunque el preprint es viejo que acaba de ser publicado en Journ. De matemáticas. Phys. 56, 043508-1-043508-21 (2015)

Answer 1

Un poco más de detalle a Joel del primer párrafo (yo no puedo ver cómo agregar un comentario, lo siento!).

El argumento de que no hay ortogonal estructura compleja en la 6-esfera es debido a Claude Lebrun y el punto es que tal cosa, visto como una sección de twistor espacio, tiene como imagen un complejo submanifold. Ahora, por un lado, este submanifold es Kaehler, y lo ha hecho no trivial de la segunda cohomology, desde el twistor espacio es Kaehler. Por otro lado, la propia sección proporciona una diffeomorphism de nuestro submanifold con el 6-esfera que tiene trivial segundo cohomology. Limpio, ¿eh?

Answer 2

Continuando Joel Fina y Fran Burstall la respuesta de sobre, de hecho, "limpia", Lebrun es el resultado. Sólo quiero recordar que la "ortogonal" twistor espacio de cualquier $2n$-dimensional de la pseudo-esfera $SO(2p+1,2 p)/TAN(2p,2q)$ puede ser escrito $SO(2p+2,2 p)/U(p+1,q)$. Así que el Kähler colector en cuestión, en el caso de la 6-esfera, es de $(8)/U(4)$. Uno debería pensar que de cada $j:T_xS^6\rightarrow T_xS^6$ como lineal mapa en $R^8$ con $j(x)=-1$ y $j(1)=x$. Así, las pruebas se han reescrito de LeBrun. Me gustaría tener más opiniones sobre esto: http://arxiv.org/abs/math/0509442

Answer 3

Aquí está un disparo en la oscuridad (Divulgación: yo realmente no sé nada acerca de este problema).

Vamos $G:=\mathsf{UB}(2)$ en $G^3$ por conjugación simultánea; es decir, $$g\cdot(a,b,c)=(gag^{-1},gbg^{-1},gcg^{-1}).$$ A continuación, el espacio cociente es homeomórficos $S^6$ (ver Bratholdt-Cooper).

La evaluación mapa muestra que el carácter de la variedad de $\mathfrak{X}:=\mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ es homeomórficos $G^3/G,$ donde $\Sigma$ es una curva elíptica con dos perforaciones.

La fijación de genéricos de la conjugación de clases alrededor de las perforaciones, por los resultados de Mehta y Seshadri (de Matemáticas. Ann. 248, 1980), da el espacio de moduli de fijo determinante el grado 2 grado 0 parabólico vector de paquetes de más de $\Sigma$ (donde ahora pensamos en las perforaciones están los puntos marcados con parabólica de la estructura). En particular, estos subespacios son variedades proyectivas.

Dejar que el límite de datos variar a lo largo de todas las posibilidades que da una foliación de $\mathfrak{X}\cong G^3/G\cong S^6$. Por lo tanto, tenemos una foliación de $S^6$ donde genérico hojas son variedades proyectivas; en particular, complejo.

Por otra parte, las hojas son simpléctica dada por Goldman 2-forma; haciéndoles Kähler (genéricamente). El simpléctica estructuras en las hojas de globalizar a una estructura de Poisson en todos los de $\mathfrak{X}$.

Es posible que las estructuras complejas en el genérico de las hojas también se globalizan?

Aquí son algunos de los temas:

1. Hasta donde yo sé, la existencia de estructuras complejas en las hojas, es genérico. Se sabe que existe exactamente cuando existe una correspondencia a un espacio de moduli de parabólica paquetes. Esto sucede para la mayoría, pero quizás no todos, la conjugación de clases alrededor de las perforaciones (o puntos marcados). Así que me gustaría, en primer lugar quiero mostrar que todas las hojas de esta foliación hacer en el hecho de admitir una estructura compleja. Dada la forma explícita de esta construcción es que, si es cierto, puede ser posible establecer por la fuerza bruta.
2. Suponiendo que el punto 1., entonces uno necesita para mostrar que las estructuras en las hojas de globalizar a una estructura compleja en todos los de $\mathfrak{X}$. Dado que en esta configuración, la foliación es dado por las fibras del mapa: $\mathfrak{X}\[-2,2]\times [-2,2]$ $[\rho]\mapsto (\mathrm{Tr}(\rho(c_1)),\mathrm{Tr}(\rho(c_2)))$, con respecto a una presentación $\pi_1(\Sigma)=\langle a,b,c_1,c_2\ |\ aba^{-1}b^{-1}c_1c_2=1\rangle$, parece concebible que las estructuras en las hojas pueden ser compatibles.
3. Por otra parte, $\mathfrak{X}$ no es un suave colector. Es singular a pesar de ser homeomórficos $S^6$. Así que por último, se tendría que afirmar que todo en el juego (hojas, espacio total y compleja estructura) puede "limpiar" en un compatibles con la moda. Esta me parece la parte más difícil, si 1. y 2. son incluso verdaderas.

De todos modos, es un tiro en la oscuridad, probablemente esto no es posible...sólo la primera cosa que pensé cuando leí la pregunta.

Answer 4

Por supuesto, no estoy a punto de responder a esta pregunta de una manera u otra, pero hay al menos un par de cosas interesantes que uno podría señalar. En primer lugar, se ha demostrado (aunque me olvide de quien) que no existe una estructura compleja en la S⁶ que también es ortogonal con respecto a la ronda de métrica. La prueba utiliza twistor teoría. El twistor espacio de S⁶ es el paquete cuya fibra en un punto p es el espacio ortogonal de casi estructuras complejas en el espacio de la tangente en p. Resulta que el espacio total es de un suave quadric hipersuperficie Q en la CP⁷. Si no recuerdo mal, ortogonal compleja estructura corresponde a una sección de este bundle, que también es compleja submanifold de P. el Estudio de la compleja geometría de Q le permite mostrar que esto no puede suceder.

En segundo lugar, hay una pregunta relacionada: ¿existe un estándar de estructura compleja, en la CP³? Para ver el enlace, supongamos que hay una estructura compleja en la S⁶ y volar de un punto. Esto le da un complejo colector de diffeomorphic a CP³, pero con un estándar de estructura compleja, lo que parece bastante extraño fenómeno. Por otro lado, se sabe tan poco acerca de la compleja threefolds (en particular los que no son de Kahler) que es difícil decidir lo que es raro y lo que no.

Finalmente, una vez escuché una charla de Yau que sugiere la siguiente estrategia ambiciosa para la búsqueda de estructuras complejas de 6 colectores. Supongamos que estamos trabajando con un 6-colector de que casi tiene un estructura compleja (por ejemplo, S⁶). Desde la tangente paquete es un vector complejo paquete se retiró algunos complejo Grassmanian a través de una clasificación de mapa. Que requiere que la estructura sea integrable corresponde a un cierto PDE para este mapa. Uno podría, a continuación, intente deformar el mapa (a través de una astucia de flujo, la continuidad método etc.) para intentar resolver el PDE. No tengo idea de si alguien ha probado a llevar a cabo parte de este programa.

Answer 5

Si una estructura tan compleja que existe, sería raro de verdad! Por ejemplo, como se muestra por la Campana, Demailly y Peternell (de Naturaleza 112, 77-91), si tal cosa existe, entonces $S^6$ no tendría la no-constante de meromorphic funciones. En particular, $S^6$ no puede ser Moishezon, digamos algebraicas.