Pregunta sobre la lógica de la mesa redonda.

Question

¿cuál es la probabilidad de que 5 personas de edades diferentes se sienten en orden ascendente o descendente en una mesa redonda?

Por lo tanto, hágamelo saber si hay una mejor manera de resolver este problema.

Que las personas se llamen 1,2,3,4,5 Podrían sentarse: 12345 23451 34512 45123 51234 o al revés, ya que el orden es importante (12345 es diferente de 54321) Hay ¡5! o 120 formas diferentes en que las personas pueden sentarse Así que 10/120 o 1/12 es la probabilidad de que se sienten en orden ascendente o descendente. ¿Hay alguna manera más formal de hacerlo?

Además, ¿de cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una mesa redonda? (problema de combinación, el orden no importa)

Answer 1

La respuesta a la segunda pregunta ayudará a comprender mejor la primera.

Si el $5$ personas se sentaran en línea recta, entonces el número de formas en que pueden sentarse es realmente $5!$ . Como les pedimos que se sienten en círculo, cada posible disposición circular corresponde a $5$ diferentes disposiciones lineales, en función del asiento que denominemos "primero". Esto demuestra que existen $5!/5=4!=24$ formas de $5$ personas a sentarse alrededor de una mesa.

Ahora, de todos $24$ posibles distribuciones de los asientos, sólo $2$ de ellos están dispuestos en orden creciente o decreciente de edad, por lo que la probabilidad deseada es $1/12$ .

Observa que nuestras respuestas son las mismas, pero es importante ver la distinción en nuestro razonamiento. En cierto sentido, has elegido un primer asiento, lo que ha aumentado tu numerador y denominador en un factor de $5$ . Dado que la pregunta pide una proporción, esto no afectó a la respuesta final, pero aún así debemos tener en cuenta la diferencia entre sentarse alrededor de una mesa y sentarse en fila.

Answer 2

Tu razonamiento es bueno, y la respuesta es correcta. Yo preferiría pensar de la siguiente manera. Llámelos $1,2,3,4,5$ de menor a mayor. Siéntate primero el mayor. En se sienta, hay precisamente $2$ formas en que los demás pueden sentarse para que el $5$ las personas están en orden de edad. Pero hay $4!$ formas igualmente probables de $4$ las personas restantes para sentarse. Así que nuestra probabilidad es $\frac{2}{4!}$ .

Observación: La respuesta a su pregunta sobre el número de formas $5$ personas pueden sentarse en una mesa redonda depende del contexto. Si la pregunta se formula en un contexto combinatorio, la única respuesta que se marcará como correcta es algo equivalente a $24$ . Porque es la norma convención que dos disposiciones que difieren en una rotación se consideran idénticas.

Answer 3

Marquemos cada asiento de la mesa redonda como A, B, C, D y E.

A B C D E

1 2 3 4 5
5 1 2 3 4
4 5 1 2 3
3 4 5 1 2
2 3 4 5 1

Así que hay 5 formas de sentarse en orden ascendente y 5 en orden descendente. Así que un total de 10 maneras.

Answer 4

Utiliza la probabilidad condicional. La persona más joven puede sentarse en cualquier lugar de la mesa, por lo que su posición no importa. La segunda persona debe sentarse junto a la primera, por lo que Sea A el suceso de que las personas de la mesa están en orden ascendente; L la probabilidad de que el segundo más joven esté sentado a la izquierda de la primera persona y R la probabilidad de que esté a la derecha. Si el segundo más joven no está sentado junto al primero, todas las apuestas se cancelan, así que usaremos esto como un suceso sobre el que condicionar para hacer el problema "más pequeño". Así que p(A) = p(A,L) + p(A,R) = p(A|L)p(L) + p(A|R)p(R) P(R) = p(L) = 1/4 Como la persona más joven ya está sentada, sólo hay 4 sitios donde puede sentarse el siguiente de la fila.

Ahora, p(A|L) = probabilidad(el tercero más joven se sienta junto al segundo, el cuarto junto al tercero y el quinto en el último asiento) De nuevo podríamos aplicar la probabilidad condicional

\= p(3 al lado de 2 | L) p(4 al lado de 3| L, 3 al lado de 2) p(5 en el último asiento | 4 al lado de 3, 3 al lado de 2 , L)

p(3 al lado de 2 | L) = 1/3 ya que 2 asientos están ocupados hay 3 lugares donde 3 puede sentarse y sólo 1 de ellos está al lado de 2 Del mismo modo p(4 al lado de 3| L, 3 al lado de 2) = 1/2 Y

p(5 en el último asiento | 4 junto a 3, 3 junto a 2 , L)=1/1=1

Entonces, p(A|L) = 1/3* 1/2* 1= 1/6

Dado que el problema es el mismo en ambas direcciones, Por simetría, p(A| R) = 1/6

Así que, subiendo todo, P(A) = 1/4* 1/6. + 1/4*1/6 = 1/12