Maximizando el volumen de un prisma rectangular

Question

Un prisma rectangular tiene un área de superficie de $300$ pulgadas cuadradas. ¿Qué dimensiones de números enteros le dan al prisma el mayor volumen?

Este es un problema de la olimpiada de matemáticas. Involucra el volumen y el área de superficie de un prisma.

Por favor, encuentra una buena solución.

¡Gracias!

Answer 1

Si estamos asumiendo un prisma completamente rectangular, con ángulos rectos por todas partes, entonces en realidad solo hay dos candidatos: $(h, w, l) = (20, 5, 2)$ y $(h, w, l) = (12, 9, 2)$. El primero tiene un volumen de 200, el segundo tiene un volumen de 216. Así que $(12, 9, 2)$ es.

Resolví esto mediante una búsqueda exhaustiva. Aquí está mi muy tonto código de MATLAB. Ciertamente no es el más eficiente, pero a veces la vida requiere soluciones rápidas y sucias. Al menos limito los bucles a 75, ya que la dimensión única más grande para lograr una superficie de 300 tiene que ser menor que eso: $(75, 1, 1)$ nos da una superficie de 302:

for h = 1 : 75,
    for w = 1 : h,
        for l = 1 : w,
            if 2*(h*w+h*l+w*l) == 300,
                [h, w, l, h*w*l]
            end
        end
    end
end

Entonces, ¿cómo harías esto sin código? Bueno, probablemente comenzaría una búsqueda exhaustiva, francamente, pero con algo de eficiencia. Reescribamos la fórmula del área superficial de la siguiente manera: $$2(hw+hl+wl)=300 \quad\Longrightarrow\quad hw+l(w+h)=150 \quad\Longrightarrow\quad (h+l)(w+l)=150+l^2$$ Así que para un valor fijo de $l$, $150+l^2$ debe admitir una factorización integral $pq$ con $p, q > l.

• Considera $l=1$: tenemos $pq=151$. Como 151 es primo, no hay soluciones. Continuando:
• $l=2$, $pq=154$, factores primos 2, 7 y 11. Como $p, q > 2$, nuestras opciones son $(p, q) \in \{(22, 7), (14, 11)\}$ o $(h, w, l) \in \{(20, 5, 2), (12, 9, 2)\}$. Estas son las dos respuestas que encontramos anteriormente.
• $l=3$: $pq=159$, factores primos 3 y 53; como $p, q > 3$, no hay soluciones.
• $l=4$: $pq=166$, factores primos 2 y 83; no hay soluciones con $p, q > 4.
• $l=5$: $pq=175$, factores 5, 5 y 7. La única solución con $p, q > 5$ es $(25, 7)$, que nos da $(h, w, l) = (20, 2, 5)$, una permutación de nuestra solución anterior (¡y ni siquiera la óptima!).
• $l=6$: $pq=186$, factores 2, 3, 31; no hay soluciones con $p, q > 6.
• $l=7$: $pq=199$, primo, sin soluciones.

Podría continuar, pero como este es un problema de concurso, probablemente habría apostado por $(12, 9, 2)$ casi tan pronto como lo obtuve. Incluso si tuviera tiempo, dudo que me hubiera molestado en seguir adelante más allá de $l=4$ o $l=5$.

Answer 2

De varias fuentes, https://math.dartmouth.edu/archive/m8f02/public_html/pauls_mws/boxeg.pdf http://www.leadinglesson.com/problem-on-finding-the-rectangular-prism-of-maximal-volume

Confirmé que para obtener el volumen máximo, el prisma sería un cubo. Así que en este caso, intentaríamos encontrar el volumen asumiendo que el prisma es un cubo.

1 Cara del cubo sería 300/6=50

1 Lado del cubo sería √50≈7.07

El volumen sería 7.07 * 50 = 353.5

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Sé que esta respuesta llega tarde, encontré esto porque estaba tratando de encontrar la respuesta a mi tarea. Solo soy un estudiante de grado 8 así que corríjame si me equivoco.