Podría alguien explicar esta curiosa solución a $7^{2x}= 2^x$

Question

Escrito en alfa wolfram lo siguiente hoy: $7^{2x} = 2^x$ y encuentran esto como una solución además de $x=0$:

$x = \dfrac{2\pi i n}{\log2 - 2\log7}$ donde $log$ tiene una base de $e$ y $n$ es cualquier entero.

Estoy rascándome la cabeza preguntándose dónde consiguieron esta solución.

Answer 1

Son de soluciones al $e^z=1$ $2\pi i\Bbb Z$ por la fórmula de Euler

son de soluciones de #% de %#% a $\Rightarrow$% ($a^z=1~\,$) $\Leftrightarrow e^{(\ln a)z}=1$$~$(dice $~\frac{2\pi i}{\ln a}\Bbb Z~\,$)

soluciones de $a\in \Bbb R^+$ $\Rightarrow$ ($a^z=b^z\,$) son (otra vez $\Leftrightarrow (a/b)^z=1$) $\frac{2\pi i}{\ln(a/b)}\Bbb Z$

Answer 2

Este es un resultado del hecho de que en los números complejos, para cualquier entero $n$, $$ e^{2 \pi i n} = 1 $$ En particular, esto significa que cuando usted toma un logaritmo de los números complejos, obtener varias respuestas posibles-se han de añadir algún múltiplo de $2\pi i$. Así, para resolver la ecuación, "$a^x = b$"$x$, cuando se $a$ $b$ son reales, escribir $$ \ln(a^x) = \ln b + 2 \pi i n $$ $$ x \ln(a) = \ln b + 2 \pi i n $$ $$ x = \frac{\ln b + 2 \pi i n}{\ln} $$ Su ecuación en particular es $7^{2x} = 2^x$, que es el mismo que $49^x = 2^x$, que es el mismo que $(49/2)^x = 1$. Por lo que la fórmula anterior da la respuesta como $$ x = \frac{\ln 1 + 2 \pi i n}{\ln(49/2)} = \frac{2 \pi i n}{2 \ln 7 - \ln 2}. $$ (Notarás que el denominador tiene el signo opuesto en su pregunta, pero esto no importa, porque la $n$ rangos de números enteros positivos y negativos.)