¿De dónde vienen los dos primeros números de la secuencia de Fibonacci?

Question

Estoy tratando de código de un simple algoritmo que imprima la $n^{th}$ número Fibonacci. Sin embargo, mi programa requiere la inicial de la semilla de los valores de $F_0 = 0$$F_1 = 1$, cuando tengo la esperanza de que puedo encontrar algo que no requieren inicial de los valores de las semillas.

¿Dónde se $F_0$ $F_1$ provienen de todos modos? De forma recursiva, $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$, para todos los $n > 1$, pero hay un método matemático para deducir $F_0$$F_1$? Básicamente, ¿cómo me acerco a los valores de $F_0$ $F_1$ sin conocerlos de antemano?

edit; me quería añadir ya que parece que hay confusión: yo sólo estoy preocupado con la secuencia de abajo.

$$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$$

Tengo curiosidad por cómo la $0, 1$ está definido, debido a que cada término puede derivar de forma recursiva, pero los dos primeros no pueden (o ¿no?).

Answer 1

Los valores iniciales $F_0 = 0$ $F_1 = 1$ son parte de la definición de la secuencia de Fibonacci. Ellos no pueden ser derivados, porque por ejemplo, usted puede escoger cualquiera de los dos números y aplicar la misma relación de recursividad para obtener una secuencia diferente. Que son los más simples números para empezar, en un sentido.

En general, cualquier definición recursiva en el que se especifica un miembro de una secuencia en términos de la anterior $n$ de los miembros se requieren para poner en el primer $n$ de los valores a mano. Se puede elegir arbitrariamente y, a continuación, utilizar la fórmula para producir más valores. Si usted sabe que usted desea para producir una secuencia con ciertas propiedades, entonces tal vez usted puede "derivar" la $n$ semillas que necesita para venir para arriba con una secuencia (aunque no se garantiza para ser más eficiente manera de hacerlo que adivinar y comprobar), pero sin alguna restricción en la secuencia que esperar a terminar para arriba con, nada especifica las semillas.

Answer 2

Una razón de peso para la definición estándar de la secuencia de fibonacci es que revela sus interesantes propiedades de la divisibilidad, es decir, que forman una fuerte divisibilidad de la secuencia, es decir,

$$\rm\ gcd(f_m,f_n)\ =\ f_{\:gcd(m,n)}$$

por lo tanto $\rm\ m\ |\ n\ \Rightarrow\ f_m\ |\ f_n\ $ etc. De forma análoga se mantienen los resultados para la clase más general de Lucas-Lehmer secuencias, lo que es conveniente a la hora de estudiar la primaria número teoría de la cuadrática campos, por ejemplo, las generalizaciones de Fermat poco teorema de Euler $\phi$ totient función, etc. Si uno cambia la indización, a continuación, muchos de estos resultados sería muy confuso.

Dicho esto, cabe destacar que tales definiciones son meras convenciones que son útiles en el contexto en mano. En otros contextos, en donde tales propiedades de la divisibilidad no juegan ningún papel - otro de indexación podría resultar más conveniente.

Answer 3

Hay una familia entera de Fibonacci-como secuencias. Un resultado fresco de Wythoff es que integral valora secuencias de Fibonacci, si usted "el centro" correctamente, se puede utilizar para hacer una correspondencia 1 a 1 con los racionales. Sin embargo, la clásica secuencia de Fibonacci se define de esa manera.

http://MathWorld.Wolfram.com/WythoffArray.html

Answer 4

Si usted quiere "derivan" de las condiciones iniciales en algún sentido podría hacerlo en el sentido biológico idealizado de las poblaciones de par de conejo como "en el libro Liber Abaci (1202) de Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci".

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Origins

Answer 5

Técnicamente no importa que distinto de cero números que comienzan con. La cosa fresca sobre número Fibonacci es el límite debe ir a la proporción áurea.

Considere la definición de la Proporción áurea- Menor es la pieza más grande, como grande es el todo.

Como los números de Fibonacci más y más grandes, llegan a esta relación. Intuitivamente hablando, los números originales importa menos y menos, y en sucesivas a, b, a+b, los patrones de ir a:

a es a b, como b es a+b.

Que se acerca más y más a la proporción áurea.