Construcción de una métrica sobre un enrejado

Question

Considere la posibilidad de un entramado $({\cal L}, \wedge, \vee)$ con un antimonotonic función de $f: {\cal L} \rightarrow {\mathbb R}$ definido en él (he.e $x \preceq y \implies f(x) \ge f(y)$).

$f$ se dice que submodular si para todos $x,y \in {\cal L}$, $$f(x) + f(y) \ge f(x \wedge y) + f(x \vee y)$$ and supermodular if the inequality is flipped (again for all $x,$ y).

Es de conocimiento general (hay una fácil prueba), que un submodular $f$ induce una métrica en ${\cal L}$ a través de la defn $$ d_s(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$$. If $f$ is supermodular, then the construction $$d^s(x,y) = f(x) + f(y) - 2f(x \vee y)$$ los rendimientos de una métrica.

Pregunta estoy tratando con un $f$ que es abisal sub - ni supermodular. Podemos definir la "distancia" $$ d(x,y) = \min ( d^s(x,y), d_s(x,y))$$

Conjetura: $d(x,y)$ es una métrica.

Tengo muy poco sonido de la intuición matemática de por qué esta conjetura debe ser cierto, y bucketloads de evidencia empírica (a partir de un entramado de hecho estoy trabajando). Este parece ser el tipo de cosa que si fuera cierto, sería razonablemente bien conocidos por los expertos, y si es falsa, podría tener un claro contraejemplo. Así que esta es una petición de ayuda.

Ya que esto podría hacer una diferencia, debo mencionar que la rejilla con la que estoy trabajando es nondistributive en general, pero tiene distributiva sublattices donde todavía soy incapaz de demostrar la conjetura.

Answer 1

Primer intento fallido (este poset no es un lattice)

el triángulo de la desigualdad de falla para los tres .5 nodos en el medio

Segundo intento de Nuestro entramado consta de conjuntos, la intersección y la unión. Les muestro por diagramas de Venn aquí... en El mismo medio de tres conjuntos de fallar el triángulo de la desigualdad por las mismas razones que antes. Pero ahora es sin duda una de celosía, ¿verdad?

Answer 2

¿No necesita alguna desigualdad estricta en algún lugar en sus definiciones? Por ejemplo, una función constante satisface las definiciones de antimonotonic, submodular y supermodular, pero no induce una métrica (suponiendo que tu entramado tiene más de un elemento) desde $d^s$ y $d_s$ luego evaluaría siempre a cero.

Answer 3

Probablemente para definir una distancia a partir de un % antimonotonic general $f$deberíamos hacerlo: si $a\lt b$ y $d(a,b) = d(b,a) = f(a)-f(b)$, y por general $a,b$ $d(a,b)$ $$\inf \sum_{n=1}^n d(x_i,x_{i-1}),$$ where the infimum is over all sequences $ un = x_0, x_1, \dots, x_n = b $ such that adjacent terms are comparable (call such sequences paths from $ $ to $b $). In your original proposal we used only two-step paths from $ a $ to $b$, pero la desigualdad de triángulo tenemos que permiten obtener caminos más así. Probablemente submodular implica que un cierto camino de dos etapas es más corto y supermodular que una ruta de dos pasos diferentes es más corta. Además, esto se aplicará a un poset que no es un enrejado.